Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Алгебра - Ленг С.

Ленг С. Алгебра — Москва , 1968. — 572 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1968.djvu
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 205 >> Следующая

KJ
Для каждого j ? J существуют элементы bjt?k, из которых почти все равны 0, такие, что
о,= 2 bjixi> i?l
я, следовательно,
2 = 22
j I
Это означает, что {х(-у;} является семейством образующих для Е над k. Мы должны показать, что оно линейно независимо. Пусть {c(j}—семейство элементов из k, почти все из которых равны О, такое, что
2 2 CijXtfj — о. j i
Тогда для каждого j
2 сИхг = о,
I
§ f. КОНЕЧНЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
187
поскольку элементы yj линейно независимы над F. Наконец, Сц = О для всякого /, так как {хг}—базис поля F над k, что и доказывает наше предложение.
Следствие. Расширение EzzF^k поля k конечно в том и только в том случае, если Е конечно над F и F конечно над k.
Как и в случае групп, мы называем башней полей последовательность расширений
Fxc.F2cz . . . cFn.
Для конечности башни необходимо и достаточно, чтобы каждый ее этаж был конечен.
Пусть k — поле, Е—его расширение и а?Е. Мы обозначаем через k(a) наименьшее подполе в Е, содержащее k и а. Оно состоит из всех дробей f(a)jg(a), где /, g — многочлены с коэффициентами в k и g (а) ф 0.
Предложение 3. Пусть элемент а алгебраичен над k. Тогда ?(а) = й[а] и поле k(a) конечно над k. Степень [k (а): k] равна степени многочлена Irr(a, k, X).
Доказательство. Пусть р (X) = \xt (a, k, X). Пусть многочлен f (X) ? k [X] таков, что / (а) ф 0. Тогда /(X) не делится на р(Х) и, следовательно, существуют многочлены g (X), h(X)?k[X ], такие, что
g(X)p(X)+h(X)f(X) = 1.
Отсюда мы получаем, что h(a)f(a)= 1 и, значит, /(а) обратим в Л [а]. Следовательно, k [а] не только кольцо, но и поле, а потому должно бы1ъ равно k(a). Пусть d = deg р(Х). Степени
1, а, . . ., ad_1
линейно независимы над k\ действительно, предположим, что ao+aia+ ~JTad-
где at ? k, причем не все a; = 0. Положим g (X) = a0-(-... -\-ad_lXd~'1. Тогда g ф 0 и g (a) = 0. Следовательно, g (X) делится на р (X) — противоречие. Наконец, пусть /(a)??[a], где f (X)?k[X]. Существуют многочлены д(Х), r(X)?k[X], такие, что degr<d и
f{X) = q{X)p(X) + r{X).
Тогда f(a) = r(a) и мы видим, что 1, а, ..., ad_1 порождают /г [aj как векторное пространство над k. Это доказывает наше предложение.
Пусть Е, F — расширения поля k. Если Е и F содержатся в некотором поле L, то мы обозначаем через EF наименьшее подполе в L, содержащее и Е, и F, и называем его композитом Е и F в L,
188
ГЛ. VII. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
Если не заданы вложения Е, F в общее поле L, то мы не можем определить их композит.
Пусть k — подполе в Е, 04, .... а„ — элементы из Е. Мы обозначаем через
?(ai.....«л)
наименьшее подполе в Е, содержащее k и с^, ..., ап. Его элементы состоят из всех дробей
/(а 1, ..., ап) g (а,, ..., ап) ’
где /, g— многочлены от п переменных с коэффициентами в k и g(dj, ..., ага)=^0. Действительно, множество таких дробей образует поле, содержащее k и dj, ..., ап. Обратно, любое поле, содержащее k и
«1.....ал-
должно содержать эти дроби.
Заметим, что Е является объединением всех своих подполей k(av ..., ап), когда (сц.....а„) пробегает все конечные подсемей-
ства элементов из Е. Можно было бы определить композит произвольного подсемейства подполей поля L как наименьшее подполе, содержащее все поля этого семейства. Мы говорим, что Е конечно порождено над k, если существует конечное семейство элементов
dj.....а„ из Е, такое, что
E — k(ax, . .., ап).
Мы видим, что Е есть композит всех своих конечно порожденных лодполей над k.
Предложение 4. Всякое конечное расширение Е поля k конечно порождено.
Доказательство. Пусть {о^, ..., ап} — базис поля Е как
векторного пространства над k. Тогда, очевидно, E—k(ax.........а„).
Если E=k(a1........а„) — конечно порожденное поле и F—рас-
ширение поля k, причем как F, так и Е содержатся в L, то
EF = F (аг......ап)
и поле EF конечно порождено над F. Мы часто будем рисовать такую картинку:
§ 1. КОНЕЧНЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
189
Наклонные линии указывают на отношение включения между полями. Мы будем также называть расширение EF поля F подъемом Е до F.
Пусть элемент а алгебраичен над полем k и F — расширение k. Предположим, что оба поля k (a), F содержатся в некотором поле L. Тогда а алгебраичен над F. Действительно, неприводимый многочлен для а над k a fortiori имеет коэффициенты в F и дает линейную зависимость между степенями а над F.
Пусть нам дана башня полей
причем каждое поле порождено над предыдущим одним элементом.
Предположим, что каждый элемент а,- алгебраичен над k, i = 1.. п.
В качестве частного случая нашего предыдущего замечания получаем,
что а/+1 алгебраичен над k(ax....а(-). Следовательно, каждый этаж
башни — алгебраический.
Предложение 5. Пусть E = k (аг............ап)— конечно поро-
жденное расширение поля k, причем а,- алгебраичен над k для каждого 1=1........п. Тогда Е—конечное алгебраическое расши-
рение поля k.
Доказательство. В силу предыдущих замечаний Е можно считать вершиной башни, каждый из этажей которой порождается одним алгебраическим элементом и потому является конечным по предложению 3. Ввиду следствия предложения 2 мы заключаем, что Е конечно над k и что оно алгебраично—в силу предложения 1.
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 205 >> Следующая