Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Алгебра - Ленг С.

Ленг С. Алгебра — Москва , 1968. — 572 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1968.djvu
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 205 >> Следующая

200
ГЛ. VII. алгебраические РАСШИРЕНИЯ
разложения, очевидно, выполняются. Кроме того, теорема 3 немедленно распространяется на бесконечный случай.
Следствие. Пусть К — поле разложения для семейства {/г}.(./ и Е— какое-нибудь другое поле разложения. Любое вложение Е в К, индуцирующее тождественное отображение на k, определяет изоморфизм Е на К.
Доказательство. Мы сохраняем предыдущие обозначения. Заметим, что Е содержит однозначно определенное поле разложения Ei многочлена /(- и К содержит однозначно определенное поле разложения Кь многочлена /г. Любое вложение о поля Е в К должно-отображать Et на в силу теоремы 3 и, следовательно, переводить Е в К. Так как К есть композит полей АГ;, наше отображение а должно переводить Е на К и, следовательно, оно индуцирует изоморфизм Е на К.
Замечание. Если / конечно и /х, ..., fп — наши многочлены,, то поле разложения для них — это поле разложения для одного многочлена f (X) = /j (X) . . . fn (X), являющегося их произведением. Однако, даже если ограничиться только конечными расширениями, удобнее иметь дело сразу с множествами многочленов, а не с одним, многочленом.
Теорема 4. Пусть К — алгебраическое расширение поля kr содержащееся в некотором его алгебраическом замыкании k. Тогда следующие условия эквивалентны.
НОР 1. Всякое вложение а поля К в k над k является автоморфизмом поля К.
НОР 2. К—поле разложения некоторого семейства многочленов в k\X\.
НОР 3. Всякий неприводимый в k [X] многочлен, имеющий корень в К, разлагается в К на линейные множители.
Доказательство. Предположим, что выполняется НОР 1. Пусть а—элемент из К, ра(Х) — его неприводимый многочлен над k и р — корень многочлена ра в k. Тогда существует изоморфизм поля k (а) на А(р) над k, отображающий а в р. Продолжим этот изоморфизм до вложения К в k. Это продолжение есть по предположению автоморфизм а поля К, и, следовательно, аа = р лежит в К.
Значит, всякий корень многочлена ра лежит в К и ра разлагается на линейные множители в К [Х\. Следовательно, К есть поле-разложения для семейства [Ра}а^к' где а пробегает все элементы поля R, и тем самым выполняется НОР 2.
§ 3. ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ И НОРМАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
201
Обратно, предположим, что выполняется НОР 2, и пусть {//}г^7 — семейство многочленов, для которых К служит полем разложения. Если а—корень некоторого /; в К, то мы знаем, что оа также будет его корнем для любого вложения о поля К в k над к. Так как К порождается корнями всех многочленов /г, то о отображает К в себя. Теперь, чтобы заключить, что о—автоморфизм, применяем лемму 1.
Доказательство того факта, что НОР 1 влечет НОР 2, показывает также, что при этом выполняется и НОР 3. Обратно, предположим, что выполняется НОР 3. Пусть а—вложение К в k над k. Пусть а и р (X)—неприводимый многочлен элемента а над k. Так как а — вложение К в k над k, то а отображает а в корень |3 многочлена р(Х), а по предположению р лежит в К. Следовательно, -оа лежит в К и а отображает К в себя. Из леммы 1 вытекает, что ¦о— автоморфизм.
Расширение К поля k, удовлетворяющее условиям НОР 1, НОР 2, НОР 3, будет называться нормальным. Не верно, что класс нормальных расширений является отмеченным. Например, легко показать,
что всякое расширение степени 2 нормально, но расширение Q 2) поля рациональных чисел не является нормальным (комплексные корни многочлена X4—2 в нем не содержатся). Тем не менее это расширение получается последовательными расширениями степени 2, а именно
E=Q
где _ _
F — Q (а), а=уг2 и Е = F (Y а).
Таким образом, башня нормальных расширений не обязательно нормальна. Однако некоторые свойства отмеченного класса все же имеют место.
Теорема 5. Нормальные расширения остаются нормальными при подъеме. Если KzzEzzk и К нормально над k, то К нормально над Е. Если Klt К2 нормальны над k и содержатся в некотором поле L, то К\К2 нормально над k и то же самое справедливо для К\[\К2-
Доказательство. Для доказательства нашего первого утверждения предположим, что К нормально над k и F — произвольное расширение поля k. Допустим, что К, F содержатся в некотором большем поле L. Пусть а — вложение KF над F (в L). Тогда отображение а тождественно на F и, следовательно, на k и по предположению его ограничение на К отображает К в себя. Получаем (KF)a = KaFa = KF, т. е. KF нормально над F.
202
ГЛ. VII. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
Предположим, что К^Е~эй и что К нормально над k. Пусть а — некоторое вложение К над Е. Тогда о есть также вложение К над k, и наше утверждение справедливо по определению.
Наконец, если К\, К2 нормальны над k, то для любого вложения о поля К\К2 над k имеем
а(КхК2) = а(К{)а(К2),
и наше утверждение снова вытекает из сделанных предположений. Утверждение, касающееся пересечения, справедливо потому, что
о {Кх П К2) = о (К{) П о (К2).
Заметим, что если К—конечно порожденное нормальное расширение над k, скажем K — k(a1, .... ап), и рг, . .., рп — соответствующие неприводимые многочлены для ах..........а„ над k, то К
есть уже поле разложения для конечного семейства рг, ..., рп. Позже мы исследуем, когда К будет полем разложения для одного неприводимого многочлена.
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 205 >> Следующая