Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Алгебра - Ленг С.

Ленг С. Алгебра — Москва , 1968. — 572 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1968.djvu
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 205 >> Следующая

f(Xu ...Дя+1) = ф№..........Хп)Р(Хп+1)
неприводим над к как многочлен от /г -J— 1 переменной. Обратно, пусть f(Xu ..., Хп+1) — неприводимый многочлен над к и хи хп алгебраически независимы над к. Показать, что
f (х 1, ..., хп, Xn+i)
неприводим над к (хи ... хп).
Если / — многочлен от п переменных и (Ь) — (6,, ...,Ьп) такой набор из п элементов, что /(6)= 0, то мы говорим, что (Ь)—нуль многочлена /. Мы говорим, что нуль (Ь) нетривиален, если не все координаты bt равны 0.
7. Пусть / (X].....Х„) — однородный многочлен степени 2 (соответ-
ственно 3) над полем к. Показать, что если / имеет нетривиальный нуль в некотором расширении нечетной степени (соответственно, степени 2) над к, то / имеет нетривиальный нуль в к.
8. Пусть / (X, У) — неприводимый многочлен от двух переменных над полем к, и пусть t трансцендентно над к, причем существуют взаимно простые целые числа т, п и элементы а, b?k, аЬфО, такие, что f(atn,btm)= 0. Показать, что после возможной замены X или У на обратную величину и с точностью до постоянного множителя многочлен / имеет
с некоторым с ? к.
Ответ к следующему упражнению неизвестен.
9. (Артин) Пусть / — однородный многочлен степени d от п переменных с рациональными коэффициентами. Показать, что если п> d, то существуют корень из единицы ? и элементы хх, xn?Q[Q, не все равные нулю, такие, что /(*,, .... хп) = 0.
Глава VIII
Теория Галуа
§ 1. Расширения Галуа
Пусть К — поле и О — группа автоморфизмов поля К. Мы будем обозначать через К° подмножество в К, состоящее из всех элементов х ? К, таких, что х° = х для всех а ? G. Это подмножество называется неподвижным полем группы G1). Это действительно поле, поскольку из х, у?К° следует
(ху)а = ха у5 — х -)- у
для всех а ? G и аналогичным образом проверяется, что Ка замкнуто относительно умножения, вычитания и деления. Кроме того, К° содержит 0 и 1 и, следовательно, содержит простое поле.
Алгебраическое расширение К поля k называется расширением Галуа, если оно нормально и сепарабельно. Мы будем считать К вложенным в некоторое алгебраическое замыкание. Группа автоморфизмов поля К над k называется группой Галуа поля К над k и обозначается символом G (К/к) или просто G. Она совпадает с множеством вложений поля К в К над k.
Для удобства читателя мы сформулируем теперь основной результат теории Галуа для конечных расширений Галуа.
Пусть К — конечное расширение Галуа поля k с группой Галуа G. Тогда между множеством подполей Е в К, содержащих k, и множеством подгрупп Н в G существует биективное соответствие, задаваемое формулой Е = КИ. Поле Е будет расширением Галуа над k тогда и только тогда, когда подгруппа Н нормальна в G, и в этом случае отображение оь-><т|? индуцирует изоморфизм факторгруппы G/Н на группу Галуа поля Е над k.
Мы дадим доказательства шаг за шагом, причем, насколько возможно, мы даем их для бесконечных расширений.
Теорема 1. Пусть К — расширение Галуа поля k, G — его группа Галуа. Тогда k = K°. Если F — промежуточное поле,
‘) Или, по другой терминологии, полем инвариантов группы G.— Прим.
ред.
220
ГЛ. VIII ТЕОРИЯ ГАЛУА
^cfcG, то К — расширение Галуа над F. Отображение
Ft—>G (КIF)
множества промежуточных полей в множество подгрупп группы G инъективно.
Доказательство. Пусть а?К° и а — произвольное вложение поля k (а) в К, индуцирующее тождественное отображение на k. Продолжим а до вложения К в К, мы будем обозначать это продолжение по-прежнему через ст. Тогда а — автоморфизм поля К над /г, следовательно, элемент группы G. По предположению о оставляет а неподвижным. Поэтому
\k (а): А],= 1.
Так как а сепарабелен над k, то имеем k(a) = k и а есть элемент k. Это доказывает наше первое утверждение.
Пусть F — промежуточное поле. Тогда К нормально над F в силу теоремы 5 и сепарабельно над F в силу теоремы 9 из гл. VII. Следовательно, К — расширение Галуа над F. Если H = G(K/F), то в силу доказанного выше заключаем, что F = КН¦ Если F, F' — промежуточные поля и Н = G (KfF), H' = G(KIF'), то
F — КН и —
Если Н = Н', то F = F', откуда вытекает, что отображение
Fi-^Q {КIF)
ннъективно, что и доказывает нашу теорему.
Мы будем иногда называть группу G(KIF) над промежуточным полем F группой, ассоциированной с F. Мы будем говорить также, что подгруппа Н в G принадлежит промежуточному полю F, если И = G (К/F).
Следствие I. Пусть Kfk—расширение Галуа с группой G. Пусть F, F' — два промежуточных поля и И, Н' — подгруппы в G, принадлежащие F, F' соответственно. Тогда Н(]Н' принадлежит полю FF'.
Доказательство. Всякий элемент из Н П Н' оставляет FF' неподвижным, и всякий элемент из G, оставляющий FF' неподвижным, оставляет неподвижным также F и F' и, следовательно, лежит в Н[\Н'. Это доказывает наше утверждение.
Следствие 2. (Обозначения те же, что и в следствии 1.) Неподвижное поле наименьшей подгруппы в G, содержащей Н, Н', есть F f\F'.
§ 1 РАСШИРГНИЯ ГАЛУА
221
Доказательство. Очевидно.
Следствие 3. Пусть обозначения те же, что и в следствии 1. Тогда Fc.F' в том и только в том случае, если H'czH.
Доказательство. Если FczF' и а?Н' оставляет F' неподвижным, то о оставляет неподвижным и F, так что а лежит в Н. Обратно, если H'czH, то неподвижное поле группы Н содержится в неподвижном поле группы Н', так что FczF'.
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 205 >> Следующая