Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Алгебра - Ленг С.

Ленг С. Алгебра — Москва , 1968. — 572 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1968.djvu
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 205 >> Следующая

5 — множество относительно инвариантных многочленов, которые не могут быть разложены в произведение двух относительно инвариантных многочленов степени !>1. Показать, что элементы из S>k* мультипликативно независимы и что, следовательно, 1/к*— свободная абелева группа. (Если вы знакомы с понятием степени трансцендентности, то, используя (г), вы сможете заключить, что эта группа — конечно порожденная.]
8. Пусть Е — конечное сепарабельное расширение над к степени п,
W = (да,.....п>„) — система элементов из ? и а........... — различные вло-
жения Е в к над к. Определим дискриминант системы W, положив
°E/k W) = det (°iwj)2-
Доказать: (а) Если V = (г*,, ..., vn) — какая-нибудь другая система (столбец) элементов из Е и X = (хц) — матрица из элементов поля к, такая, что W = XV, то
Dm (IP) = det (*)* Dm(V).
(б) Дискриминант является элементом из к.
(в) Пусть Е = к (а) и /(А") = 1гг(а, к, X). Пусть а,, ...,ап — корни /и, скажем, а = а!. Тогда
П
Г (а) = П (а — <*/)•
1-2
УПРАЖНЕНИЯ
263
Показать, что
DE/k (1, а. ..а""1) = (-1)" (л-1,/2 ЛГ| (/ (а)).
(г) Пусть обозначения те же, что и в (а). Показать, что
det (Тг (W[Wj)) — (det (cr;w;-))2.
[Указание: пусть А — матрица (а,®,). Показать, что 1 АА есть матрица
(Тг (wiwj)).]
9. Пусть F — конечное поле и К — его конечное расширение. Показать,
К 'К
что норма Ny, и след Тг? сюръективны (как отображения К в F).
10. Пусть аф 0, Ф± 1—целое число, свободное от квадратов. Для каждого простого числа р пусть Кр — поле разложения многочлена Хр — а над Q. Показать, что [Кр : Q] = р (р — 1). Для всякого целого числа т > 0, свободного от квадратов, пусть
Кт = П Кр
р| т
— композит всех полей Кр с р \ т, и пусть dm — [Кт '¦ Q] — степень Кт над Q. Показать, что если т нечетно, то dm — JJ dp, а если т четно, т = 2п, то
р\т _
d2n — dn или 2 dn, в зависимости от того, содержится или нет У а в поле корней т-й степени из единицы Q (?т).
11. Пусть А — абелева группа и G — конечная циклическая группа с образующей о, действующая на А [посредством гомоморфизма G -> Aut (Л)]. Определим след Тг^ = Тг на А, положив Тг (х) — 2 хх¦ Обозначим через ЛТг
х ?0
ядро следа и рассмотрим (1—о) А — подгруппу в А, состоящую из всех элементов вида у — ау. Показать, что Нх (О, А) я ЛТг/(1 — а) А.
12. Какова группа Галуа следующих многочленов: (а) X3 — X — 1 над Q.
(б) X3—10 над Q. (в) X3 — 10 над Q(1^2). (г) X3 — 10 над Q (У—3).
(я) Х3 — Х — \ над Q(/=23). (е) — 5 над Q, Q(/5 ), Q (/=5 ), Q (/)•
(ж) X4 — а над Q, где а — любое целое число =^=0, =^=±1 и свободное от квадратов, (з) Хп — а над Q, где п нечетное >1, а — любое свободное от квадратов целое положительное число, (и) X4 -j- 2 над Q, Q (/).
(к) (*2 — 2) (X3 — 3) (X* — 5) (X2 — 7) над Q. (л) (ЛГ2 — Pl) ... (X2 - рп)
над Q (р 1, ..., рп — различные простые числа), (м) (X3 — 2) (X3 — 3) (ЛТ2 — 2) над Q (У —3). (н) Хп — t над С (t), где t трансцендентно над полем комплексных чисел С, а и — целое положительное число, (о) X4—t над R (t), где t такое же, как и выше.
13. Пусть k — поле, п — нечетное целое число >1 и J — примитивный корень п-й степени из единицы, лежащий в k. Показать, что k содержит также примитивный корень 2я-й степени из единицы.
14. Пусть k — конечное расширение поля рациональных чисел. Показать, что в k имеется только конечное число корней из единицы.
15. Определить, какие корни из единицы имеются в следующих полях: Q (0, Q (/=2), Q (У2 ), Q(/=3), Q(/3), Q(/=5).
16. Для каких целых чисел т примитивный корень /я-й степени из единицы имеет степень 2 над Q?
264
ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ ГАЛУА
17. Пусть k — поле характеристики 0, причем для всякого конечного расширения Е поля k индекс (Е*: Е*п) конечен, каково бы ни было целое положительное п. Доказать, что для всякого такого п существует только конечное число абелевых расширений над k степени п.
18. Пусть / (г) — рациональная функция с коэффициентами в конечном расширении поля рациональных чисел, причем существует бесконечно много корней из единицы ?, для которых / (?) есть корень из единицы. Показать, что существует такое целое число п, что / (г) = сг", где с — некоторая константа (являющаяся на самом деле корнем из единицы).
Это упражнение может быть обобщено следующим образом. Пусть Г0 — конечно порожденная мультипликативная группа комплексных чисел и Г — группа всех комплексных чисел у, таких, что ут лежит в Г0 для некоторого целого т Ф 0. Пусть / (z) — рациональная функция с комплексными коэффициентами, такая, что существует бесконечно много Y 6 Г, для которых f (у) лежит в Г. Тогда снова f(z) = czn для некоторых сип.
Мною дано доказательство соответствующего утверждения для случая, когда значения у и / берутся в Г0, а не в Г (см. „Diophantine Geometry", гл. VII, теорема 7).
19. Пусть K/k — расширение Галуа. На группе G(K/k) = G определяем топологию Крулля, беря в качестве фундаментальной системы открытых окрестностей единицы множество подгрупп, которые принадлежат конечным расширениям Е поля к, содержащимся в К. Используя представление на левых смежных классах, находим, что нормальные подгруппы кофинальны в этом семействе и что, следовательно, семейство нормальных подгрупп, принадлежащих конечным нормальным расширениям, определяет ту же самую топологию. Показать, что группа G алгебраически и топологически изоморфна проективному пределу конечных факторгрупп GIU, где U пробегает все такие нормальные подгруппы. Вывести отсюда, что G компактна и вполне несвязна. Такие группы называются проконечными. Показаи>, что всякая замкнутая подгруппа конечного индекса открыта. Показать, что замкнутые подгруппы — это в точности те подгруппы, которые принадлежат промежуточным подполям kcz F с К- Показать, что если Н — произвольная подгруппа в G и F—ее неподвижное поле, то подгруппа в G, принадлежащая F, совпадает с замыканием Н в G.
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 205 >> Следующая