Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Математическое моделирование и иследование национальной экономики - Росс И.

Математическое моделирование и иследование национальной экономики

Автор: Росс И.
Издательство: Питер
Год издания: 2006
Страницы: 22
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8
Скачать: matematicheskoyemodelirovaniye2006.pdf

Глава 5. Линейное программирование в исследовании систем управления
Исследование систем управления в части формализованных методов (т.е. нахождение оптимального способа действия в условиях определенных экономических ограничений) сводится к построению математических моделей и анализу их характеристик. Совокупность математических методов, позволяющих проводить такой анализ, образует раздел математики, называемый математическим программированием [4],[5],[7].
Построение математической модели означает определение целевой функции Z = f(X),X = (xj,X2,...,xn) и множества Q, на котором она задана:
X e Q. Множество Q называется областью допустимых планов задачи.
Тот план, на котором целевая функция достигает своего наибольшего (наименьшего) значения, - оптимальный план, т.е. решение задачи. Методы нахождения оптимального плана зависят от конкретного вида функции f ( X) и множества Q. Вот почему математическое программирование состоит из нескольких разделов. В этой теме затрагивается один из них - линейное программирование .
Линейным программированием называется раздел математического программирования, который занимается изучением линейных моделей. Это означает, что целевая функция Z = f (X), X = (xj, X2,..., xn) представляет собой линейную функцию и множество Q задается линейными уравнениями и неравенствами:
а11 X1 + а12 X2 + ... + ainXn = К
ak1X1 + ak 2 X2 + ... + aknXn = bk , k >0;
ak+1,1 X1 + ak+1,2X2 + ... + ak+1,nXn < bk+j;
(5.1)
a/+1,1 X1 + a/+1,2X2 + ... + ai +1,nXn > bl+{;
anx1 + ai2X2 +...+alnxn < bi,l >k;
am1x1 + am2x2 +... + amnxn> bm,m > l;
m1 1 m 2 2 mn n m’ ’
Xj1 > 0, x2 > 0,..., x]P > 0
Z = c1 x1 + c2x2 +... +cnxn + c0 ^ max(min) (5.2)
Здесь c0,cj,aij eR(i = 1,...,m, j = 1,...,n), j1, j2,..., jp- некоторые из чисел 1, 2, ... ,n:
{j'uЛ — jp} ^ {1,2,....,n}.
Ограничения (5.1) при k = 0 не содержат уравнений, при l = k не содержат неравенств вида <, при m = l не содержат неравенств вида >. Задача
(5.1)-(5.2) называется общей задачей линейного программирования.
40
Задача (5.1)-(5.2) называется стандартной задачей линейного программирования, если k = 0, m = l (т.е. все ограничения (5.1) имеют вид неравенств <), p = n (т.е. условие неотрицательности наложено на все переменные), c0 = 0 (т.е. в целевой функции (5.2) нет свободного члена).
Приведем различные типы экономических задач, математическая постановка которых представляет собой разные варианты линейных моделей.
5.1. Задача об ассортименте продукции
Кондитерская фабрика вырабатывает и продает печенье и торты. Для изготовления каждого вида продукции фабрика использует сахар, яйца, муку (предположим, что все остальные ингредиенты имеются в избытке и поэтому не рассматриваются). Известны затраты каждого ресурса на производство 1 кг выпечки, прибыль от продажи 1 кг продукции и количество ресурсов, которыми фабрика располагает на один день (Таблица 5.1).
Таблица 5.1
Ресурсы Изделие, расход на 1 кг Дневной запас ресурса
Печенье Торты
Сахар 0,4 кг 0,4 кг 120 кг
Яйца 3 шт. 5 шт. 1500 шт.
Мука 0,5 кг 0,25 кг 100 кг
Прибыль от реализации 1 кг печенья составляет 3 у.е., а от реализации 1 кг торта - 6 у.е. Требуется составить дневной план выпуска продукции, при котором фабрика получит наибольшую прибыль.
Математическая формулировка задачи. Главным моментом построения математической модели является идентификация переменных (искомых величин данной задачи). Далее следует определить ограничения на переменные, которые диктуются условиями исходной задачи. Эти ограничения и зададут множество Q. Теперь нужно определить цель, для достижения которой из всех допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи. Формулировка этой цели на математическом языке и приведет к построению целевой функции.
Пусть X1 - количество (в килограммах) печенья, выпускаемого фабрикой в день, X2 - количество (в килограммах) тортов, выпускаемых фабрикой в день.
Тогда количество сахара, расходуемого фабрикой в день: 0,4 X1 + 0,4 X2. Это значение не должно превышать имеющийся у фабрики дневной запас сахара в 120 кг. Количество яиц, расходуемое в день: 3x1 + 5X2. Но их дневной запас 1500 шт. Количество муки, необходимое на день: 0,25X1 + 0,5X2. В наличии имеется 100 кг муки на день.
41
Очевидны следующие ограничения:
0,4xx + 0,4x2 < 120;3xx + 5x2 < 1500;0,5xx + 0,25x2 < 100, где xj > 0, j = 1,2 (условие неотрицательности переменных). Прибыль за сутки составит 3xx + 6x2 у.е., и ее, естественно, нужно максимизировать. Таким образом, целевая функция имеет вид Z = 3xx + 6x2 ^ max.
5.2. Задача о диете
Для поддержания здоровья собаку следует кормить мясом и овсянкой. В среднем в день собака съедает 2 кг пищи. При этом кормовой рацион должен удовлетворять определенным требованиям по питательности. Ограничиваясь, для простоты, только тремя компонентами - белками, жирами и углеводами, - можно сказать, что дневной рацион собаки должен содержать: не менее 20% белков, не менее 10%, но не более 40% жиров, не менее 30% углеводов.
< 1 > 2 3 4 5 6 7 .. 8 >> Следующая