Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Введение в численные методы 3 издательство - Самарский А.А.

Самарский А.А. Введение в численные методы 3 издательство — Лань, 2005. — 288 c.
ISBN: 5-8114-0602-9
Скачать (прямая ссылка): vvedeniyevchislenniyemetodi2005.pdf
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 71 >> Следующая

*i-l/a
(5)
Интеграл, стоящий справа, представим в виде суммы двух интегралов: от xt-in до х( и от х, до я,+1/г; разлагая затем подынтегральную функцию f = qu — / в окрестности
§ 4. ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ НА НЕРАВНОМЕРНЫХ СЕТКАХ 163 узла х — a:i, найдем
Подставляя это выражение с f = qu — / в (5) и учитывая, что 9i = /i, di = qt, приходим к формуле (4).
Для оценка ri( рассмотрим разность (аы-^ — (ftu')i-i/a при условии к е Ст, и е ClS). Пользуясь предположением «j = j/а + О (>?) и формулами ut=> щ~1/л + Mi-i/a/
+ Ь1щ-1/2/8 + О (ft®)* “i-i =ui-x/a~ ^iui-i/a/2 -/8 + 0 (Л?), и-л = (м* — ui_1)/A1= Mj-i/a + О (Л?), получаем
(au*)i — =*
= (^1-1/2 + ^ (^i)) (Ul-1/S + О (/l|)) — (k«')i-l/2 = 0 (/if).
Таким образом, справедлива оценка
^=0(^1) при A; (a:), д(я), / (х) <= С(2\ в(1)еС(”,
Замечание. Мы предполагали, что df и ф( определяются по простейшим формулам: dt = qt, = /*. Если же используются более сложные формулы, например
*1+1/2
_ Vl-l/2 + ^i+l^i+l/a „ 1 Г
ф! — 2а7 " 1 4Pi — л. J > Iх) ® i
*1-1/2
то сеточную функцию = О (й-) — (dt — 5») ы» + (ф,—/О 6*
164 ГЛ. rv. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
.* II** 1**
можно представить в виде % =“Р^}+ ЧЧ > ГДО Vi “
-O(fti), Р*-О(А?), и заменить в формуле (4) Щ( на
сумму Ti, + p<:
+ “(Pi + Л()а + (4')
Pi=*0 (й*Х 1]{ = 1)3** = О (fcj) при k, q,Je Cw,
и <= C(S).
3. Оценка скорости сходимости. Для задачи (2) —(4) справедлива априорная оценка
1*1с<7-«члп + <М1>*11>.
(6)
N
где (tfj v] = S yivihi- Если выполнены условия (7) из § 3,
то Ц* = 0(Ь()л Чч =^<?(й*).
Подставляя г], и i|)i в (6), убеждаемся в том, что справедлива следующая
Теорема. В классе гладких коэффициентов k, q, /е еС*!) любая схема вида (1) сохраняет второй порядок точности на произвольной последовательности неравномерных сеток.
"Учитывая замечание п. 2, % можно представить в виде V* = Р?( + Vf*. где р4 = О (/if), =0 (&*)• Тогда
вместо (6) верна оценка
|*1с<“-{(1. | л + р|] + (1.1Ч>** IBs
теорема о втором порядке точности на неравномерной сетке сохраняет силу.
Если коэффициент к(х) имеет разрывы первого рода в конечном числе точек, то всегда можно выбрать такую неравномерную сетку со», (А;), что точки разрыва будут узлами этой сетки. Тогда любая схема будет иметь второй порядок точности.
Итак, любая однородная схема второго порядка аппроксимации (\|) =0(hz)) на равномерной сетке и в классе гладких коэффициентов имеет второй порядок точности, а при специальном выборе неравномерных сеток (?>h(k) ив классе разрывных коэффициентов.
4. Точная схема. Для задачи (1) из § 2 можно построить точную трехточечную схему, решение которой в узлах произвольной сетки совпадает с точным решением
t 4. ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ НА НЕРАВНОМЕРНЫХ СЕТКАХ 165
и = и(х) краевой задачи для дифференциального уравнения. Проиллюстрируем возможность построения точной
схемы на частном случае задачи при q (х) = 0:
Проинтегрировав уравнение от xt до х, получим уравнение
я
(ки’) — (ки')j + j / (I) <г| = О,
Разделим его на к(х) и проинтегрируем по х сначала от ?% ДО ?i+il
*t+l *i + l *'
J ш>+ J1 (8)
Si
xi
затем от xt-t до Xi:
*i s'
u,(*„'), j J (9)
*i-X
Введем обозначение
“°i
1 f dx
hi J k (*)
xi—l
-1
Умножим (8) на a°+i/hitr lt(9) — на а°/к{ и вычтем из первого результата второй. Получим уравнение
Если положить х' — х, + shi при xt~i х' < Xi и х' — ?= х, + sAI+l при ?< sS х{+1, то эту формулу можно
166 ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
переписать так:
1 -1 ' * 1/ «
+^ I п^тк:) 1 Н« + ц»«> -ft-
Таким образом, схема (10) является точной на произвольной неравномерной сетке и для любых кусочно-не-ирерывных функций к(х) и f(x). Конечно, практическое использование этой схемы затруднено тем, что коэффициенты выражаются через интегралы от к(х) и f(x) и поэтому для их вычисления надо пользоваться квадратурными формулами.
5. Повышение порядка точности. Из предыдущего ясно, что для повышения точности приближенного решения надо либо уменьшать шаг сетки А, либо повышать порядок точности схемы. Однако схемы повышенного порядка точности целесообразно строить лишь для уравнений с постоянными коэффициентами, так как паписание таких схем для уравнений с переменными коэффициентами сопряжено с большими техническими трудностями и часто приводит к трудоемким алгоритмам. Мы уже приводили
пример схемы 0(А4) для уравнения и"---------/(#).
Рассмотрим теперь уравнение
и" — qu — —f(x), q = const > 0.
Напишем разностную схему на равномерной сетке:
и выберем d и <р так, чтобы она имела аппроксимацию О (А*). Погрешность аппроксимации равна
if = Ли + ф = (Ли — и") —- (d — q) и + ф — / =
.= ~ ulv — (d — q)и + ф — / + О (h*).
Подставив сюда ц1 v = qu" — /" = q(qu — /) — /" = q2u. —
— qf-f", подучим
g 4. ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ НА НЕРАВНОМЕРНЫХ СЕТКАХ
167
h?
следовательно, T|j = 0(fts)1 если положить d — q+y^ff2,
Ф = / + ^2 Ш + / )? Порядок точности сохранится, если
заменить в формуле для ф производную /", ее разностной аппроксимацией f-x, так как А2/" = h2i~x +0(h*).
Повышение точности схемы путем уменьшения h ограничивается также требованием экономичности, т. е. экономии времени получения решения с заданной точностью. Поэтому на практике часто применяется расчет по одной и той же схеме на последовательности сеток, позволяющий повысить точность без существенного увеличения времени счета (метод Рунге), в предположении достаточности гладкости решения.
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 71 >> Следующая