Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Введение в численные методы 3 издательство - Самарский А.А.

Самарский А.А. Введение в численные методы 3 издательство — Лань, 2005. — 288 c.
ISBN: 5-8114-0602-9
Скачать (прямая ссылка): vvedeniyevchislenniyemetodi2005.pdf
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 71 >> Следующая

Суммируя по к - 0, 1, 2, ..n—i, получаем оценку
1<Мд<1Ыл +S-2 т1^г
(42)
h=0
которая выражает устойчивость схемы (1) по правой части и по начальным данным в II л.
Пример. Схема с весами (1): В = Е + отА. Для нее условие (41) означает, что
(1-е)Я+ (o-~)ir 4>Q.
В частности, оценка (42) верпа при е = 1 п а > 1/2.
7. Асимптотическая устойчивость. Для задачи Коши
аи
dt
+ Аи = 0* t > 0^ и (0) = Uq
в п. 1 § 3 была п'лтг,7ттв“° ™тш"1
где i = !-?'!)-
k
Найдем условия, при которых аналогичная оценка имеет место для схемы (2). Воспользуемся теоремой 4. Пусть
выполнены^слош а(33>“ Тогда ^ г силу i(34) г-ф).. (43)
• 1 т" Vs
Отсюда следует оценка, выражающая свойство асимптотической устойчивости
|f/4A<e~Vl'nUoiU
(при этом учтено, что = тга, р =* 1 — XYi< e~TVl). Рассмотрим схему с весами и предположим, что
(44)
ЬЕ < А < АЕ, 5 = h > 0, Д — Я* > 0.
Вычислим у, и уг- Учитывая (45), имеем
В = Е + от Л > + crtj А =* ~ А;
(45)
212 ГЛ. V. ЗАДАЧА КОШИ
Для явной схемы f . = 6, условие асимптотиче-
ской устойчивости
т*?2/{5 + Д) (47)
близко к условию обычной устойчивости с р = 1. При
о Ф 0 условие т<2/(к| + "Гг) приводит к неравенству 2+ 2(о - 1/2)т(6+ Д)- 2о(1 - о)т3бД >0.
При о = 1 оно выполнено для любого т, т. е. чисто неявная схема с о = 1 безусловно асимптотически устойчива. Симметричная схема
асимптотически устойчива при условии
- < т* т* - 2/УМ (49)
и безусловно устойчива в обычном смысле. В этом случае
и верна оценка
!y«I<e_,tl'n|!/0|| при т<т*, а =1/2. (50)
Что произойдет, если условие т <т0 не выполнено, т. е. т > т0? Тогда max 11 — тХ* | достигается не при к — /, k
а при k = N и p = Tf2~l. Асимптотика (при больших tn) решения разностной задачи не имеет ничего общего с асимптотическим решением исходной задачи. Таким образом, нарушение асимптотической устойчивости приводит к потере точности схемы при больших t.
Глава VI
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В этой главе мы рассмотрим разностные схемы и методы решения разностных уравнений для уравнения Пуассона и эллиптических уравнений с переменными коэффициентами.
§ 1. Разностные схемы для уравнения Пуассона
1. Исходная задача. Рассмотрим уравнение Пуассона
Будем искать его решение, непрерывное в прямоугольнике
и принимающее на границе Г заданные значения:
и1г = ц(а;). (2)
Задача, определяемая уравнением (1) и условием (2), называется задачей Дирихле {первой краевой задачей).
2. Разностная схема «крест». Для численного решения задачи (Ц-У-^ннелрм в (7 сетку м,, —со* U 7^ = {ж, —
= (iikt, 1гк2), ia = 0, 1, ..Na, ha = lJNa, а = 1, 2) и обозначим через Ух = уч — у (ilt i2) = у (^ijT xiz) сеточную функцию, заданную на /г4 я h2 — шаги сетки по координатам Xi И хг.
Чтобы написать разностную схему для задачи (1), (2), аппроксимируем каждую из производных d^ujdxa на трехточечном шаблоне, полагая
знак ~ означает аппроксимацию. Пользуясь этими
214
ГЛ. VI. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
выражениями, заменим (1) разностным уравнением
— (г) — 2г/ {f j, *4) + 3/(*! + !. *2)
*1
+
+
У(» 1. М+У(г1' '2 + 1)
ч
или, в сокращенной записи,
В безындексных обозначениях имеем
"/(*)» * “(<1*1. <*А,) e®ft((5). (4)
^1,1(*) + ^а»1(*)в
К этому уравнению надо присоединить краевые условия
Граница у* сетки состоит из всех узлов (0, t2), (Nu ii), (U, 0), (г,, yv2), но вершины прямоугольника (0, 0),
(0, N2), (N,, 0), (Ni, N2) в схеме не используются. Разностное уравнение (3) записано на пятиточечном шаблоне
Схему (3) часто называют схемой крест. Если hi =h2 = =k, т. е. сетки по xt и хг совпадают, то сетку ш* называют квадратной. На такой сетке разностную схему (3) можно записать в виде
Для однородного уравнения (/ = 0) получаем
т. е. значение в центре шаблона определяется как среднее арифметическое значений в остальных узлах шаблона.
3. Погрешность аппроксимации. Пусть и = и (х)—решение задачи Дирихле (1), (2), а у =y(h, г2) — решение раз.ностной задачи (4), (5). Рассмотрим погрешность
z(xl = y (х\ - и (X), х = (t А, цкг) е 0)Л.
§ i. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 215
Подставляя y = г + ив (4), (5), получаем для погрешности z — z(x) неоднородное уравнение
с однородным краевым условием Здесь
(6)
(7)
(8)
есть невязка или погрешность аппроксимации для схемы (4) на решении и = и(х) уравнения (1).
Покажем, что
Отсюда и из (1) следует (9).
Таким образом, схема (4) имеет второй порядок аппроксимации.
4. Схема повышенного порядка точности. Используя девятиточечный шаблон (хи х%), (#i ± hxz), (хц ± h2) ,
216 ГЛ. VI. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
(xi + hlt хг ± hi) ,можно построить схему, имеющую четвертый порядок аппроксимации (и точности), если предположить, что решение задачи (1) — (2) и = и (я) е еС(в) (5). Эта схема имеет вид
Л'у = (А2 + Л2 + 1 и ' AjAg j у - — <р(х)2 х<= <вл,
1/(х) = |л{х), x<=yh,
fc* , , fe*
Ф = / + J2 12
Непосредственная проверка показывает, что невязка равна
\|э = А'и + ф = 0{!й|‘). (11)
Для погрешности z = у — и, где у — решение задачи
(10), получаем
о
5. Свойства разностного оператора. Пусть у {х)— сеточная функция, заданная на сетке шЛ =?йл(?г) и равная
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 71 >> Следующая