Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Задачи по геометрии (планимерия) - Шарыгин И.Ф.

Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии (планимерия) — М.: Наука, 1982. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipogeometrii1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 61 >> Следующая

!_______і___________________!_= I
(R+d)*^ (R-d)* г*•
При этом существует бесконечно много четырехугольников, одновременно вписанных в большую окружность и описанных около меньшей окружности. (В качестве одной из вершин можно взять любую точку большей окружности.)
106. а) К данной окружности проведены две касательные. Пусть А и В — точки касания, а С —точка пересечения касательных. Проведем произвольную пря-
S4
мую /, касающуюся данной окружности, не проходящую через А и В. Пусть и и v — расстояния до / от А
и В, w — расстояние до / от С. Найти если АСВ — а.
б) Вокруг окружности описан многоугольник. Пусть / — произвольная прямая, касающаяся окружности и не совпадающая ни с одной из сторон многоугольника. Доказать, что отношение произведения расстояний от вершин многоугольника до / к произведению расстояний от точек касания сторон многоугольника с окружностью до I не зависит от положения прямой I.
в) Пусть А1АІ... Агп — описанный около окружности 2я-угольник, /—произвольная касательная к окружности. Доказать, что произведение расстояний до / от вершин с нечетными номерами и произведение расстояний до / от вершин с четными номерами находятся в постоянном отношении, не зависящем от I (предполагается, что / не содержит вершин многоугольника).
107. В выпуклом четырехугольнике ABCD даны }АВ\ — а, \AD\ = b, \ВС\ = р — а, I DC | = р — 6. Пусть
О —точка пересечения диагоналей. Обозначим через а
угол ВАС. К чему стремится длина АО, если а стремится к нулю?
§ 2. Задачи на доказательство
108. Доказать, что если одна сторона треугольника лежит на фиксированной прямой плоскости, а точка пересечения высот совпадает с фиксированной точкой, то окружность, описанная около этого треугольника, также проходит через фиксированную точку.
109. Доказать, что описанный многоугольник, все стороны которого равны, является правильным, если число сторон нечетно.
110. В треугольнике ABC проведена высота BD, AN — перпендикуляр к АВ, СМ — перпендикуляр к ВС, причем \AN' = \DC\, |СУИ1= AD . Доказать, что М и N равноудалены от вершины В.
111. Дан четырехугольник ABCD. На прямых АС и BD взяты точки К и М так, что ВК параллельна AD, AM параллельна ВС. Доказать, что КМ параллельна CD.
112. В Д ABC проведена биссектриса внутреннего угла AD. Построим касательную I к описанному кругу
2*
36
в точке А. Доказать, что прямая, проведенная через D параллельно I, касается вписанной окружности.
ИЗ. В треугольнике ABC проведена прямая, пересекающая стороны АС и ВС в точках М и N так, что | MN | = | AM | + ВМ |. Доказать, что все такие прямые касаются одной и гой же окружности.
114. Доказать, что точки, симметричные центру описанного около треугольника круга относительно середкн его медиан, лежат на высотах треугольника.
115. Доказать, что если высота треугольника в раз больше радиуса опнсанного круга, то прямая, соединяющая основания перпендикуляров, опущенных из основания этой высоты на стороны, ее заключающие, проходит через центр описанного круга.
116. Пусть ABC — прямоугольный треугольник (С = 90°), CD —высота, /( — точка плоскости, для которой | АК = | АС ]. Доказать, что диаметр окружности, описанной около Д АВК, проходящий через вершину А, перпендикулярен прямой DK-
117. Через вершину А треугольника ABC проведена прямая параллельно ВС, на этой прямой взята точка D так, что | AD ! = | АС | + | В А |; отрезок DB пересекает сторону АС в точке Е. Доказать, что прямая, проведенная через Е параллельно ВС, проходит через центр вписанной в Д ABC окружности.
118. Дне окружности проходят через вершину угла и точку, лежащую на биссектрисе. Доказать, что отрезки сторон угла, заключенные между окружностями, равны.
119. Пусть Е — произвольная точка на стороне АС треугольника ABC. Через вершину В проведем произвольную прямую /. Прямая, проходящая через Е параллельно ВС, пересекает I в ючке N, а прямая, параллельная АВ, — в точке М. Доказать, что AN параллельна СМ.
120. На противоположных сторонах ВС и DA выпуклого четырехугольника взяты точки М и N так, что
ВМ А. V АВ
МС XD ~ CD '
Доказать, чт< прямая /V/N параллельна биссектрисе угла, образованною сторонами АВ и CD.
36
121. Диагонали разбивают выпуклый четырехугольник на четыре треугольника. Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, рлвиы. Доказать, что данный четырехугольник — ромб.
122. Диагонали четырехугольника разбивают его на четыре треугольника равного периметра. Доказать, что данный четырехугольник ромб.
123. О четырехугольнике ABCD известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC, BCD, CDA, DAB, равны между собой. Доказать, что ABCD — прямоугольник.
124. Дан прямоугольный треугольник ABC, угол С — прямой, О —центр вписанной окружности, М — точка касания вписанной окружности с гипотенузой, окружность с центром в М, проходящая через О, пересекается с биссектрисами углов А и В в точках К и L, отличных от О. Доказать, что К и L — центры окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, где CD —высота треугольника ABC.
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 61 >> Следующая