Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Задачи по геометрии (планимерия) - Шарыгин И.Ф.

Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии (планимерия) — М.: Наука, 1982. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipogeometrii1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 61 >> Следующая

39
145. Два велосипедиста едут по двум пересекающимся окружностям. Каждый едет по своей окружности с постоянной скоростью. Выехав одновременно из одной точки, где пересекаются окружности и сделав по одному обороту, велосипедисты вновь встретились в этой точке. Доказать, что существует такая неподвижная точка, расстояния от которой до велосипедистов все время одинаковы, если они едут: а) в одном направлении (по часовой стрелке); б) в разных направлениях.
146. Доказать, что если из произвольной точки окружности опустить перпендикуляры на стороны вписанного 2/г-уголышка, то произведения длин этих перпендикуляров через один будут равны.
147. П\сть АуА.,... А,, — вписанный многоугольник; центр окружности находится внутри многоугольника. Система окружностей касается данной изнутри в точках А.,, ..., Ап, причем одна из точек пересечения двух соседних окружностей лежит на соответствующей стороне многоугольника. Доказать, что если п нечетно, то все окружности имеют равные радиусы. Длина внешней границы объединения вписанных окружностей равна длине данной окружности.
148. Доказать, что если длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, то:
а) радиус вписанного круга равен 1/3 высоты, опущенной на среднюю сторону;
б) прямая, соединяющая центр тяжести треугольника с центром вписанного круга, параллельна средней стороне;
в) биссектриса внутреннего угла, противолежащего средней стороне, перпендикулярна прямой, соединяющей центры вписанного и описанного кругов;
г) для всех точрк этой биссектрисы сумма расстояний до сторон треугольника постоянна;
д) центр вписанной окружности, середины наибольшей и наименьшей сторон и вершина угла, ими образованного, лежат на одной окружности.
149. Теорема Бретшнейдера (теорема косинусов для четырехугольника). Пусть а, Ъ, с, d — последовательные длины сторон четырехугольника, т и я — длины его диагоналей, А и С —величины двух противоположных углов. Тогда выполняется соотношение
т2п2 = а2с2 + ЬЧ2 - 2abed cos (Л + С).
40
150. Теорема Птолемея Пусть а b, с, d — последовательные длины сторон вписанного четырехугольника, а т и п — длины его диагоналей Доказать, что тп — ac-\-bd.
151. Доказать, что если ABC — правильный треугольник, М — произвольная точка плоскости, не лежащая на окружности, описанной около ABC, то существует треугольник, длины сторон которого равны МА |, \МВ\ и |МС\ (теорема Пом пею). Найдите угол этого треугольника, лежащий против стороны, равной MB |, если АМС = а.
152. Рассмотрим окружность, в которую вонсан правильный (2п + 1)-угольник АхАг... А2„ + х. Пусть А — произвольная точка дуги /4іЛ2ч+і.
а) Доказать, что сумма расстояний or А до вершин с четными номерами равна сумме расстояний от А до вершин с нечетными номерами.
б) Построим равные окружности, касающиеся данной одинаковым образом в точках Alt А2, А2л + 1. Доказать, что сумма длин касательных, проведенных из А к окружностям, касающимся данной в вершинах с четными номерами, равна сумме длин касательных, проведенных к окружностям, касающимся данной в вершинах с нечетными номерами.
153. Теорема Лейбница. Пусть Д1 — произвольная точка плоскости, G — центр тяжести треугольника ABC. Тогда выполняется равенство
2>\MG\* = \MA 2 +1 MB ,а + | ЛІС,2 —
-х/з (АВ?+ ВС *+ С А I2).
154. Пусть ABC — правильный треугольник со стороной а, М — некоторая точка плоскости, находящаяся на расстоянии d от центра треугольника ABC. Доказать, что площадь треугольника, стороны которого равны отрезкам \МА\, \ MB , ; МС , выражается формулой 5 = -у^|а2 — 3d2!.
155. Продолжения сторон АВ н DC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке К, а продолжения сторон AD и ВС —в точке L, причем отрезки BL и DK пересекаются. Доказать, что если выполняется одно из трех соотношении АВ 1 CD | = = ВС 14-1 AD , ВК + BL = DK\ + \DL \, \АК\ + -f j CL I = J AL і +1CK і, то выполняются и два других.
41
156. Продолжения сторон АВ и DC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в гочке К, а продолжения сторон AD и ВС — в точке L, причем отрезки BL и DK пересекаются Доказать, что если выполняется одно из трех соотношений |Л/5| + |?>С[ — = | АВ\ + \СВ |, |ЛК| + |СК|Ч^ЖСН |ВК! + + \DK\ = \BL +\DL\, то выполняются и два других.
157. Пусть S — площадь данного треугольника, R — радиус описанного около него круга. Пусть, далее, S' — площадь треугольника, образованного основаниями перпендикуляров, опущенных на стороны данного треугольника из точки, удаленной от центра описанного круга на расстояние d. Доказать, что
с/ S
•Ъ = т
1 ——— 1 R2
(Эйлер)
158. Дан произвольный треугольник ABC. На его сторонах как на основаниях вне его построены три равнобедренных треугольника АКВ, BLC.CMA с углами при вершинах К, L и М, равными а, (3 и у, а + р + у= = 2л. Такие же равнобедренные треугольники АКЛВ, BLtC, СА'^Л построены внутрь треугольника ABC. Доказать, что углы каждого из треугольников KLM и
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 61 >> Следующая