Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Реклама

Задачи по геометрии (планимерия) - Шарыгин И.Ф.

Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии (планимерия) — М.: Наука, 1982. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipogeometrii1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 61 >> Следующая

1) прямая АВ параллельна прямой, соединяющей центры кругов (в случае неравных кругов проходит через точку пересечения внешних касательных);
2) прямая, соединяющая середины FF' и АВ, проходит через середину отрезка, соединяющего центры данных кругов.
(Эта задача была предложена читателям журнала «Вестник опытной физики и элементарной математики» профессором В. Ермаковым. Журнал этот издавался в России в прошлом веке. Задача была опубликована в 14 (2)-м номере журнала за 1887 г. За решение задачи читателям была обещана премия— литература по математике.)
262 Дан треугольник АВС\ ААи ВВг и СС1 — его высоты. Доказать, что прямые Эйлера треугольников АВ?и A^BCU AlBxC пересекаются в такой точке Р окружности девяти точек, для которой один из отрезков РАи РВи РСу равен сумме двух других отрезков (Victor Thebault, American Mathematical Monthly; см. задачи 162, 232).
§ 4. Геометрические неравенства и задачи на максимум-минимум
263. Доказать, что если в треугольнике ABC угол В тупой и | АВ 1 — J то С > g А.
264 Доказать, что окружность, описанная около треугольника, не может проходить через центр вневпи-санной окружности. (Вневписанная окружность касается стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Для каждого треугольника существует три вневпнсанных окружности.)
65
265. В треугольнике из вершины А выходят медиана, биссектриса и і,-ісота. Какой угол больше: между медианой и биссектрисой или между биссектрисой и высотой, если угол А равен а?
266. Доказать, что если медианы, проведенные из вершин В и С треугольника ABC, перпендикулярны, то ctgB + ctgCs==2/3.
267. Дан треугольник ABC, \АВ\<С\ВС .Доказать, что для произвольной точки М на медиане, проведенной
из вершины В, ВАМ > ВС М.
268. Из внешней точки А к окружности проведены две касательные АВ и АС, и середины их D и Е соединены прямой DE. Доказать, что эта прямая не пересекает окружность.
269. Доказать, что если прямая не пересекает окружность, то для любых двух точек прямой расстояние между ними заключено между суммой и разностью длин касательных, проведенных из этих точек к окружности. Доказать обратное утверждение: если для каких-то двух точек прямой наше утверждение не выполняется, то прямая пересекает окружность.
270. В треугольнике ABC углы связаны соотношением 3.4 - С < л. Угол В разделен на четыре равные части прямыми, пересекающими сторону АС. Доказать, что третий из отрезков, на которые разделена сторона АС, считая от вершины А, меньше |ЛС|/4.
271. Пусть а, Ь, с, d — длины последовательных сторон четырехугольника. Доказать, что если S —его площадь, то S^(ac + M)/2, причем равенство имеет место только для впнсанного четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны.
272. Доказать, чго если длины биссектрис треугольника меньше 1, то его площадь меньше у 3 /3.
273. Доказать, что треугольник ABC будет остроугольным, прямоугольным или тупоугольным в зависимости от того, будет ли выражение а2 + Ь2 Ц- с2 — SR2 положительно, равно нулю или отрицательно (а,Ь,с — стороны треугольника, R — радиус описанного круга).
274. Доказать, что если длины сторон треугольника связаны неравенством а"-|-Ь2> 5с2, то с —длина наименьшей стороны.
275. В треугольнике ABC угол В — средний по величине: А<В<.С; /—центр вписанной окружности,
56
О — центр описанной окружности, Н — точка пересечения высот. Доказать, что / лежит внутри ВОН.
276. Треугольники ABC и АМС расположены так, что МС пересекает АВ в точке О, причем ' AM | + + |Л4С| = |/4В| + ! 6С|. Доказать, что если АВ = = \ВС\, то |ОВ|>,ОЛ* |.
277. В треугольнике ABC точка М лежит на стороне ВС. Доказать, что (j AM \ —! АС ) ВС *?( АВ — -\АС\)\МС\.
278. Пусть а,Ь,с — длины сторон треугольника ABC, М — произвольная точка плоскости. Найти минимум выражения
\МА\* + \МВ\2 + \МС 2.
279. Стороны угла, величина которого а, являются бортами биллиарда. Какое наибольшее число отражений от бортов может сделать биллиардный шар (размерами шара можно пренебречь)?
280. Четыре деревни расположены в вершинах квадрата со стороной 2 км. Деревни соединены дорогами таким образом, что из каждой можно пройти в любую другую. Может ли общая длина дорог быть меньше чем 5,5 км?
281. Точка А расположена между двумя параллельными прямыми на расстоянии а и Ь от них. Эта точка служит вершиной угла величины а всевозможных треугольников, две другие вершины которых лежат по одной на данных прямых. Найти наименьшее значение площади таких треугольников.
282. Дана окружность радиуса R, О —ее центр, АВ — диаметр, точка М — на радиусе О А, причем
= k. Через М проведена произвольная хорда CD.
Чему равно наибольшее значение площади четырехугольника ACBD?
283. Вершина угла величины а находится в точке О. Л—фиксированная точка внутри угла. 11а сторонах
угла взяты точки М и N так, что MAN — fi (а + Р < < 180). Доказать, что если AM — AN , то плошадь четырехугольника OMAN достигает максимума (среди всевозможных четырехугольников, получающихся при изменении М н N).
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 61 >> Следующая