Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Задачи по геометрии (планимерия) - Шарыгин И.Ф.

Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии (планимерия) — М.: Наука, 1982. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipogeometrii1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 61 >> Следующая

Для завершения доказательства нам осталось доказать, что любой «впнсано-описанный» четырехугольник может быть получен из вписанного четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями вышеуказанным способом. В самом деле, если A'LMN — «вписано-олисанный» четырехугольник, Р — центр вписанной окружности, то, проведя прямые, перпендикулярные биссектрисам КР, LP, МР, А’Р и проходящие через К, L, М и А' соответственно, мы получим четырехугольник ABCD (см. рис. 26).
При этом BPK — KLB — 90°— ^ MLK (мы воспользовались,
в частности, тем, что у четырехугольника PKBL противоположные углы прямые н, следовательно, он вписанный). Аналогично
I MNK, и, значит, ВРА = ВРК + КРА =
KPA = KNA = 90
91
= 180°
1
(MLK + MNК) = 905. Таким образом, все углы БРА,
APD, DPC и СРВ прямые, т. е. Р — точка пересечения диагоналей ABCD, сами же диагонали перпендикулярны. Нетрудно показать, что ABCD — вписанный четырехугольник, поскольку
АВС + ADC — PBL+PBK + PDS-f PDM = PKL+ PLK+ PMN +
+ PNM = 1 INKL + KLM + LMN + MNK) = 180°.
106. а) Пусть I пересекает АС и ВС в точках К и /V н касается окружности в точке М (рис. 28). Обозначим і АС | =
= ! ВС \ =а, АК = КМ\ = х, BN |= NM\ = y. Очевидно,
ui- (а — х) (а — у)
= '-----ІЛ------— но по тео-
tw ху
реме косинусов для дСКЛ'
(JC+(/)- = (а — х)- + (а-!/)* —
— 2 (а — х) (а — у) cos а =$ху = = и- — ах — ау — (а—х)(а — у)х X cos а 2x1/ =
= {а—х) (а—у) (1— cosa)=r>
XtJ а
Таким образом, = siri2 ^ w2 2
(а-х)<а-у)-°‘“ 2-
(Аналогично рассматриваются другие случаи расположения прямой I.)
б) Воспользуемся результатом задачи 106 а). Перемножая соответствующие равенства для всех углов л-угольника, мы получим квадрат искомого отношения, а само отношение окажется равным
__________1__________
. о., . а., а„ ' sin 2 sm j ... sm
где ах, а2, ..., «„ — углы многоугольника.
в) Воспользуемся результатом задачи ЮС а). Если обозначим точки касания сторон АгА3, АгАъ, ..., A2n^iAin, А2пА1 с окружностью через В„ В2, ..., В2„_і, В2Л, через xlt хг, , хіп_л,
л'ап — расстояния от Alt А2......Агп до /, через уи ys......у2п —
расстояния от В,, В2, ..., В.2„ до /, то получим
1 *! 1 xS п 1
У^пУі
sin-
«і
УіУг
sirr
У‘1п-іУгп
sin*
(Я], а2, ..., «2п — углы многоугольника). Перемножая равенства, содержащие xv х3, .... xin_lt и деля на произведение остальных равенств, получим
( XLX.2 .. Х.1п ! 2
\ *2*4 ¦ ¦ ¦ х2п
)
. ос2 . а. а2п 2
sm 2 sm 24... sm-g- \
* “2Л-1 / '
vsm 2* sm 2
92
АО
107. Найдем сначала lim . Обозначим С = р. Имеем
UL ,
а-»0
і , .
, „ , о ab sin а
АО | ьАВО _ 2___________
ОС $BDC 1
О)
2 (Р — а) (р — Ь) sin р Но по теореме косинусов | BD 2=а2-| b-—2ab cos а, і BD ,2=(р — а)2+(р — Ь)2 — 2(р — а) (p—b) cosp, а2+Iі — 2ab cos а = (р—о)2+(р — Ь)3 — 2 (р — а) (р — Ь) cos р,
_ р(р-а-Ь) + аЬс os а C0SP~ (р-а)(р-Ь) '
sin Р = 1 1 — СОЙ2 Р = } (1 — COS Р) (1 + COS Р) =
_ Vab (1 — cos а) (2р2—2ар — 2bp ~{- ab-j-ab cos а) “ (Р — а)(Р—Ь) •
Учитывая, что при а -*¦ 0
, sin а а
cos а -*- 1, — = 1 2 cos - у 2,
К 1—cos а *
получим из (1), (2)
|И01 Еб
«™о!ОС| К (р-а)(р-Ь)-
Поскольку ЛС|-*-р, то
lim | АО' = р: ^ аЬ
(2)
Vab+V(p—a)(p—b)
108. Докажите, что точка, симметричная точке пересечения высот треугольника относительно стороны треугольника, лежит на описанной окружности.
109. Докажите, что касательные к окружности, проведенные из вершин, между которыми расположена одна вершина многоугольника, равны. Отсюда следует, что для многоугольника с нечетным числом сторон точки касания являются серединами сторон.
110. MB а = а2-|-с2 cos2 Д = а2-|-сг —с2 sin2 Д = о2+с2 — а2Х Xsin2C = c2+a2cos2C=|A'B 2.
111. Если О — точка пересечения диагоналей АС и BD, то, воспользовавшись подобием соответствующих треугольников, получим
\ОК\ 'ОК \ОВ\ _ ОА\ і ОМ | . ОМІ
| ОС , — I О В ОС OD , О А і OD , *
что и требовалось.
112. Докажите, что I образует с AD такие же углы, что и прямая ВС, касающаяся нашей окружности. Отсюда следует, что другая касательная к окружности, проходящая через D, будет параллельна /.
93
113. Построим окружность (рис. 29), касающуюся прямых MN, АС и ВС таким образом, чтобы точки касания Р и Q с прямими АС и ВС бьйЇР вне отрезков СМ и CN (это будет окружность, вне-
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 61 >> Следующая