Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Задачи по геометрии (планимерия) - Шарыгин И.Ф.

Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии (планимерия) — М.: Наука, 1982. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipogeometrii1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 61 >> Следующая

то 0103| = |0204 . Если К и L — точки касания окружностей
вписанных в A ABC и A ACD, с ЛС, то KL 11 ЛВ j+
+ CD I — і ВС і— ЛО ; (см. задачу 141). Аналогично, если Р и Q — точки касания соответствующих окружностей с BD, то PQ,= = KL |. Проведем через 03 прямую параллельную АС, до пересечения с продолжением 0,К. Получим д 0,03м, аналогично построим д 0204Р. Эти два прямоугольных треугольника равны, так как у них 0,03 = 0204 i, 03М = KL = |PQ; = 0}R . Значит, ОгМ = 02R , но , О,М равен сумме радиусов окружностей, вписанных в д ЛВС и Д ЛСО, a 02R равен сумме радиусов окружностей, вписанных в д ACD и Д BDA,
102
143. Пусть KL — дуга окружности, находящаяся внутри тре-угольника ABC. Продолжив стороны АВ и ВС за точку В, мы
получим дугу 'MN, симметричную KL относительно диаметра,
параллельного АС. Поскольку ABC измеряется дугой і (KL +
+ MN) = KL, значит, дуга KL имеет постоянную длину, ей соответствует центральный угол, равный ABC.
144. Пусть (рис. 41) О —точка пересечения прямых, А и Ах —
два положения точки на одной прямой, В и В1 — положения в эти же моменты времени другой точки. Восставим к АВ и А-1В1 перпендикуляры в нх серединах и обозначим через М их точку пересечения;
д AAiM = Д ВВХМ по трем сторонам — один получается из другого поворотом на угол АОВ с центром М. При этом повороте любое положение точки на АО приходит в соответствующее положение точки на ОВ, так что М обладает нужным свойством.
145. а) Пусть А и В — точки пересечения окружностей, А —
точка, из которой велосипедисты выехали. М и N — положения велосипедистов в некоторый момент времени. Если М Н N — по
одну сторону от АВ, то АВМ = ABN, если по разные, то
ABM + ABN = 180°, т. е. точки В, М и N расюложены на одной
N
Рис.
прямой. Если L и К—точки окружностей, диаметрачьно противоположные В (L и К фиксированы), то поскольку LNM — NMK = = 90°, середина LK—точка Р —будет равноудалена от N и М. Можно убедиться, что Р симметрична точке В относительно середины отрезка, соединяющего центры окружностей (рис. 42, а).
б) Пусть О, и 02—центры окружное! ей. Возьмем точку А, такую, что 01А02А1 — параллелограмм. Легко видеть, что
103
Д MOyAy = A N02Ai, так как 1 MOt ' = ' OtA | = І 02Л , 10,^4] =
= 02Л J = j /V02 , АЮ^і = ф+ЛО^Л1 = ф+Л0гЛ1==Лг02Лі. где ф — угол, соответствующий дугам, пройденным велосипедистами (рис. 42, б).
Таким образом, искомые точки симметричны точкам пересечения окружностей относительно середины отрезка 0,0г-
Замечание. В пункте а) можно было поступить точно так же, как и в пункте б). А именно, взяв точку Р таким образом, что Д ОгР02 — А 0,ЛОг (А и Я —по одну сторону от 0,02 и не совпадают), легко доказать равенство соответствующих треугольников.
146. Пусть (рис. 43) А — данная точка, Л* — какая-то вершина 2п-угольника, Bft_x и Вк — основания перпендикуляров, опущенных из А на стороны, заключающие Ак, щ и Р* — углы, образованные прямой АА/г с этими
сторонами (Р* = ЛЛ^В/^, «/, =
= АА^В/,). Поскольку около четырехугольника А В, Л / Вможно
описать окружность, то ЛВ*_!В/(=
= аь ЛВ*б*_, = Р* (или дополняют эти углы до 180°); таким образом, по теореме синусов
АВ
к-1
sin
I ABk І АВ//г і ABk+1 ABh 2
sin a<f
sin sin ak+l sin ak sin pt+I
Перемножая эти равенства для k = 2, 4, ..., 2п, заменяя индекс 2л+1 на 1, получим требуемый результат (sin o.b — sin рд,tl, sin Pi = sin a2n).
147. Докажите, что если О* и Од,+1 — центры окружностей, касающихся данной окружности в точках Л* н Л*ч1, В -точка их пересечения, лежащая На хорде AkAk+l, гк,гк+1 — их радиусы,
то rk + rk+1 = r, AkOi,.B = Л/тОл+1В = Л/,,ОЛ,.+1 (г- радиус данной окружности, О —ее центр). Отсюда следует равенство радиусов через один, что при п нечетном приведет к тому, что все они — по г/2. Кроме того, Л*В + BAh+i = ЛЙ*+1 (берутся меньшие дуги соответствующих окружностей).
148. Пусть длииы сторон треугольника а, Ь, с, причем b = а+с
а) Из равенства рг = * ЬІЦ (р
санного круга, hb — высота а
полупериметр, г—радиус впи-опущенная на сторону Ь) получаем
2 bh(,; ио а + с=2Ь, так что hb = 3r.
б) Это утверждение следует из того, что г-еечения медиан делит каждую в отношении 2: 1.
104
hb
3’
а точка пере-
в) Продолжим биссектрису BD до пересечения с описанной
окружностью в точке М (рис. 44). Если мы докажем, что О — центр вписанной окружности — делит ВМ пополам то тем самым
будет доказано и наше утверждение. (Проведем диаметр BN;
тогда прямая, соединяющая центры вписанной и описанной окружностей, будет параллельна NM, a BW/V = 90“.) Но Д СОМ— равнобедренный, так как СОМ =ОСМ = ^ ^ Значит СМ \ = ОМ К
Из условия Ь — апо свойству биссектрисы получаем, что |CD = 2 • Пусть К —середина СВ, &CKO = &CDO (| СК | = = CD KCO—OCD)-, отсюда следует BKO — CDM, кроме того. DCM=0BK==B2 , CD = ВК I. т. е. д BKO = &CDM, \СМ | =
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 61 >> Следующая