Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Задачи по геометрии (планимерия) - Шарыгин И.Ф.

Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии (планимерия) — М.: Наука, 1982. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipogeometrii1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 61 >> Следующая

SA,BiC, = SA,MB1+SB,MC,^~SCsMA, =
= 2 (d<* —*) (db + y) sinC + 2 №+ ?/)№ +г) sin A -f-
+ 2 (4 + z) (da — x) sin B =
+ 2 [— x (db sin C+dc sin B) + y (da sin C + dc sin /4)4-
+2 (db sin A +db sin B)].
Но выражение в первых квадратных скобках есть площадь Д Д,В,С,, т. е. оно равно S/4, во вторых квадратных скобках
/ d2 \
стоит площадь Л Л2В2С,, т. е. I ; S. Покажем что третье слагаемое равно нулю. Поскольку dn = К cos А, db — R cos В, dc =
— R cost, третье слагаемое легко преобразовать к виду
1 - - 1
2 [— xR sin A + yR sin B+zR sin C] = ^ [—xa-\-yb+zc],
где a, b и с—стороны треугольника ABC. Заметим, что Д OKL подобен д АВС\ поэтому, если мы заменим а, Ь и с на а,, 6,, с,, где с,, Ьг, с,—стороны д OK.L, и покажем, что і/&, + гс,—ха, =0, то нулю будет равно и наше выражение. По
yb, + ге, — ха, = ({/&,+ гс, + (da - х) а,) — d0a, = 0,
поскольку y61 + 2cl + (d(7-x)cJ=2S0/(i, doal = 2SOKl.
Рассмотрение других случаев расположения точек М и О проводится точно так же.
Замечание 1. При d — R площадь треугольника, образованного основаниями перпендикуляров, оказывается равной нулю, т. е. эти основания расположены на одной прямой. Прямая эта называется прямой Симеона (см. задачу 233).
Замечание 2. Можно избежать разбора вариантов, приписав расстояниям до сторон знаки, при этом для точки, расположенной внутри треугольника, все три величины положительны, а для точек, расположенных по разные стороны от какой-либо прямой, образующей треугольник, расстояния до этой прямой имеют разные знаки. Приняв это во внимание, легко убедимся, что предложенное решение охватывает все случаи расположения точки /VI для произвольного треугольника.
158. Произведем последовательно три поворота в одном направлении вокруг точек К, L и М (или вокруг К,, Lx и Мг) на
углы а, р и v- Поскольку а + р+у=2л, получившееся преобразование есть параллельный перенос (см. задачу 140, раздел I). Но поскольку одна из вершин исходного треугольника при этом останется неподвижной, то неподвижными должны остаться все точки плоскости.
Таким образом, центр третьего поворота (точка М) должен совпадать с центром поворота получающегося в результате последовательного применения двух первых: вокруг точек К и L. Теперь можно воспользоваться результатом задачи 140, раздел I.
159. Пусть Ог, 02, 03, 04 —последовательные центры квадратов. Произведем последовательно повороты в одном направлении вокруг точек О,, 02, 03, 04 на углы в 90°. Рассуждая так же, как в предыдущей задаче, покажем, что получившееся преобразование оставляет все точки плоскости неподвижными. Следовательно (см. задачу 140, раздел I), каждую из двух пар поворотов: вокруг О, и 02 и вокруг Од и 04 —можно заменить центральной симметрией относительно одной и той же
ТОЧКИ О. При ЭТОМ Д 0,00-2 и
Д 0S004 — равнобедренные прямоугольные треугольники с прямыми углами при вершине О. Следовательно, треугольник 02004 получается нз треугольника 0,00:1 поворотом вокруг О на 90°, т. е. 0x03l= 0204\,
0,03 _L О2О4.
160. Пусть ЛВС —данный треугольник, Л,В,Сх — треугольник Д,
Л2В2С2 —треугольник б (/4j и Л2 — центры треугольников, построенных на ВС), стороны треугольника ABC, как обычно, — а, Ь, с.
а) То, что треугольники Л,В,СХ и Л2В2С2 правильные, следует, например, из результата задачи 158.
б) Найдем расстояние от At до М —точки пересечения меднан треугольника ABC. Пусть N — точка пересечения прямой АЛМ и высоты к стороне ВС, а К — точка пересечения с той же высотой прямой, проходящей через Аг параллельно ВС (очевидно, N лежит на продолжении высоты за точку А, а К — на продолжении за прямую ВС, рис. 48). Если теперь D — середина ВС, то
V О
AJ) =1 Уз, AN =2,Л1?>|=?4г-,
а Уз
NK =Лд+ AfP +|ЛЛ/|=Л,Ч--------------2—
\fia — высота, проведенная из вершины Л),
MiK, = | 2 с cos В ,
109
I ДМ 2= J 'AW2= g CNK a+' AtK 2) =
= -i- (^Iq + ahaY 3 + ^ а* + °4 — a с cos ? + c2 cos2 В j =
_ц*±»±*+28у 3).
(Мы воспользовались равенствами S = * /i?+c2cos2B = c2
и теоремой косинусов.) Расстояния ВtM и С,Л1 находятся так же, и все они, как легко видеть, равны. Точно так же найдем квадраты расстояний М от точек Л2, В2, С2. Они равны
^2+!i±Z-isV з).
в) Используя результат предыдущего пункта, поскольку SA =
2 2
= ^ 21 3 , Sf, = 4 Л2/И 2 КЗ , легко получить требуемое
утверждение.
161. Докажем, что треугольники СВ,Л2 и СЛ,В2 получаются один из другого поворотом около точки С на угол 90°. В самом
деле, аСАА1 = АСВВ1 ( ВВх |= АС , ВС ='ААг , СВВ] =
= СЛУ1,), а поскольку ЛИ, 1 ВС и BBt 1 АС, то и В,С 1 AtC. Точно так же Л2С и В2С равны и перпендикулярны.
162. Пусть ABC — данный треугольник, Я —точка пересечения его высот, Аи В,, Ct —середины отрезков АН, ВН, СН, ААг — высота, А3—середина ВС.
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 61 >> Следующая