Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Реклама

Задачи по геометрии (планимерия) - Шарыгин И.Ф.

Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии (планимерия) — М.: Наука, 1982. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipogeometrii1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 61 >> Следующая

PQ с MN. Покажем, что -Ц^г,— величина постоянная. Заметим.
/\Лі |
что PNQ= 180° — PMQ\ значит,
I мк ! Sl\PMQ РМ -'MQ\ I MN ! \MN\ ' MN *
TkaT = ~s&pQN =Tpa'T-,'VQ cnT ‘ T
(мы воспользовались равенством (1) и тем, что Д MNP подобен д MNC, а д MNQ подобен Д MND).
242. Проверьте, что точки Аи Лг, As и Blt В2, В3 находятся на сторонах треугольника 0fi203 (Оj, 02, 03—центры окружностей) или на продолжении этих сторон и отношение расстояний от каждой пз этих точек до соответствующих вершин треугольника 0,0203 равно огношению радиусов соответствующих окружностей. Далее можно воспользоваться теоремой Менелая (см. задачу 193) для каждой из этих троек точек.
243. Пусть О —центр вписанной окружности, К и L — точки касания со сторонами АС и АВ, прямая, проходящая через N параллельно ВС, пересекает стороны АВ и ЛС в точках R и /VI.
Четырехугольник OKMN — вписанный (0NM = 0КМ— 90°), следовательно, OMN = OKN; аналогично OR N = OLN, но OLN—OKN>
значит,ORN—OMN и Д ORМ — равнобедренный, ОN — высота; іаким образом,
|tf/V| = |AVM .
244. Если стороны Д ЛВС равны ВС;=я, [СА =Ь,
' АВ =>с, то, как мы знаем (см. задачу 18, раздел І), і МС =
.-д °Проведем через К прямую, параллельную ЛС,
обозначим ее точки пересечения с АВ и ВС через Аг и Cv Окружность, вписанная в Д ABC, является вневписанной (каеастся Л,Сі и продолжений ВЛ] и BCt) для д А1ВС\. Но д Л^С, подобен Д ЛВС. Следовательно, окружность, вневписаииая в ЛВС, будет касаться ЛС в точке N; обозначим точки касания ее с продолжениями ВЛ и ВС через R и L. Имеем
BR | =-! BL | = -~ (, BR\ + \BL l) = i(o + fc+c),
значит,
an] = \ar = rb - влмс1-
В И. Ф. Шарыгин
129
245. Проведем через К прямую, параллельную ВС. Обозначим
через L и Q точки пересечения касательной в точке Р с прямой ВС и построенной прямой, ей параллельной, а через N — точку пересечения АК с ВС. Так как CN\ = \BM\ (см. задачу 244), то нам достаточно доказать, что 1 A^L | = ILM |, но
, PL | = | LM значит, нужно доказать, что 1 PL | =} NL |. Поскольку Д PLN подобен д PQK, в котором i PQ [ = I QK I, то
РК | = | NL | и \ CL\ = \ LB \.
246. Пусть М и N — точки пересечения прямой LK с прямыми I и CD. Тогда | AM j2 = ] ML | • | Ml{ ,. Из подобия треугольников КМВ и DKN следует - = \~ктї г> I МК ! =
KN I • MB I
I ML I
,KNI IDNl
І ддr j Из подобия треугольников CNL и MLB следует
ІУИВІ , , \LN\-\MB\
ML'-.
I LM I \CN .
Таким образом,
І МК I • I ML
I CN I
I KN I.! LN 1 \CN 1-І DN
I MB 'a = l MB A
т. e. \MA |z=| MB j2, \MA\ = \MB\.
247. Пусть (рис. 65) В —вторая общая точка окружностей,
С —точка на прямой АВ, из ко-торой проведены касательные, и, наконец, К—точка пересечения прямых MN и PQ. Воспользовавшись теоремой синусов и результатом задачи 50, получим
\РМ\
РМ\
sin РВМ
І МА I
sin РВМ |ЛМ| I ВМ | sin РВМ
I МА
sin ВРМ | ВМ I sin РВМ
МА і
Рис. 65.
sin ВРМ
sin РВМ
і СВ С А I
sin ВРМ
Таким образом, обозначив через а угол АМВ, а через р— угол ЛРВ {а к р постоянны), получим
\РМ\
| МА\
Аналогично найдем
]AN\
\NQ\
У
У
і СВ, sin (а+р)
С А | sin Р
Сі4 , sin р
1 СВ j sin (а + р)
130
Но по теореме Менелая (см. задачу 193) IQK
\РМ1 і МА,
АЫ\ <QKI , A'Q ‘ КР
I.
Значит,
КР
- = I.
248. Проведем через М прямую, параллельную АС, до пересечения в точках Л, и Сх с прямыми В А и ВС. Имеем
'А^Ш^=90°—ШШ—90е ~1<BD = BAD = К AtM, следовательно, Д КМАг — равнобедренный и | А,М | = j МК |. Аналогично \MC1\ = \ML\, но \KM\ = \ML\, значит, \А1М\ = \МС1\ т. е. прямая ВМ делит АС пополам.
249. Пусть М — точка пересечения ND и АВ, а Р—точка пересечения касательных к окружности в точках А и D. Поскольку прямые Л/С, АВ и PD параллельны, из подобия соответствующих треугольников получим
АМ\
AN
I MB I
I DP і MD
NP AP I
I AM =! DP
I MB I =:NCI
AN I NP I AP I
(1)
(2)
I NC і \ND\ I NP I ’ 1 I NP
no \DP,—\AP\, I NC I = j AN |, следовательно, правые части выражений (1) и (2) равны, т. е. j AM \ = \МВ\.
250. Будем считать, что D —середина СВ и AD пересекает вторично окружность в точке К. Докажем, что касательные к окружности в точках В к С пересекаются на прямой МК.
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 61 >> Следующая