Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Задачи по геометрии (планимерия) - Шарыгин И.Ф.

Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии (планимерия) — М.: Наука, 1982. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipogeometrii1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 61 >> Следующая

Точно так же разбираются остальные случаи расположения точек F и F' на касательных (при этом учитываем результаты задач 155,
Рис. 73.
166). Поскольку каждая касательная точками касания и точкой
пересечения разделена иа 4 части, то таких случаев будет ~-42 = 8.
Для доказательства второй части заметим, что середины АВ, FF' и центр третьей окружности 03, вписанной в АКВМ, лежат на одной прямой (см. задачу 217).
Но поскольку радиусы данных окружностей равны, то АВ параллельна (0lt 02 — центры данных окружностей); А и В
136
лежат на прямых 0j03, 0203. Значит, прямая, проходящая через 03 и середину АВ, делит 0Х02 пополам.
262. Обозначим через Н точку пересечения высот треугольника ABC, а через А2, В2, С2—середины отрезков АН, ВН, СН. Заметим, что треугольники ABLCU AxBClt AtBxC подобны между собой (соответственные вершины обозначены одинаковыми буквами), причем А2, В2 и С2 — соответственно центры описанных около них окружностей. Докажем сначала следующее утверждение: три прямые, проходящие через точки Аг, В2 и Сг и одинаково расположенные относительно треугольников АВ1С1,
AtBClt АВ,С, пересекаются в одной точке на окружности девяти точек.
Заметим, что прямые A2Blt В2В и С2Вг одинаково расположены относительно треугольников АВуСу, Л1ВС1 и АфуС и пересекаются t точке Вх, лежащей на окружности девяти точек. Поскольку точки А2, Вг, С2 лежат на окружности девяти точек, то очевидно, что и три прямые, получающиеся из прямых A2Bx, B.JB и С2ВХ поворотом на один и тот же угол вокруг точек Л2, В3 и С, соответственно, также будут пересекаться в одной точке, расположенной на окружности девяти точек.
Пусть теперь Я —точка пересечения прямых Эйлера треугольников ABjCy, AxBClt ЛХВХС. Обозначим РА2А—у. Для удобства будем считать, что треугольник ABC остроугольный, а точка Р лежит на дуге ВхА2 окружности девяти точек (рис. 74).
Тогда
PA2Ai— 180° — ф,
Р А^Вг = 180° — ф — ВИ^4Х = 180° - ф—ВАА = 2? - ф,
РА?і== 180° — ф-f- 180° —2В = 360°—ф —2В"
Поскольку хорды РАХ , [ ЯВХ | и ] РСХ | пропорциональны синусам углов, на них опирающихся, нам осталось доказать, что из трех величин sin ф, sin(2<?—ф), —sin(2В+ф) одна (в нашем случае первая) равна сумме двух других, т. е.
sin ф = sin (2(?—Ф) — sin (2В+ф).
Но в треугольнике АА2НХ | AAt\=JZ, ] АНг \ — 2R cos A (R — радиус описанной окружности, R cos А — расстояние от центра описанного круга А2 до BjCj), HlAA2~A-f-2B —180". По теореме
137
Сйнусов для А ЛЛ.2Я,
2 cos Л _ I
sin ф sin (2 В + Л + ф)
=>—2 cos Л sin (2В + Л+ф) = sin ф rz> sin(2B -(-2Л + Ф) — sin (2В+ф) = бшф =$
=$ sin (2d—ф) — sin (2B + ф) = sin ф,
что и требовалось.
Таким образом, мы доказали паше утверждение в случае остроугольного треугольника.
Случай тупоугольного треугольника ABC рассматривается точно так же.
263. Пусть D — середина АС. Восставим в D перпендикуляр к АС и обозначим через М точку пересечения его с ВС.
А АМС — равнобедренный, значит, MAC— ВС А. По условию A ABD также равнобедренный, ABD = BDA, ABM >90° (по условию), ADM =90°, значит, MBD > MDB и | MD | > [ ВМ ,. Отсюда
следует, что MAD > МАВ (если мы отобразим симметрично В относительно прямой AM, то получим точку Bi внутри угла MAD, так как MD ± AD и | MD | > ' MB ; = | МВХ '); таким образом,
С> А-С, С>уЛ.
264. Если окружность касается продолжений сторон АВ и АС и ее центр 0, то легко найти, что ^ВОС= 180° — ^90°—f )—
= 90° — -^-. Таким образом, В0С + ВЛС =
= 90° + ^- ^ 180°.
265. Пусть AD — высота, AL — биссектриса, AM — медиана. Продолжим биссектрису до пересечения с описанной около треугольника окружностью в точке Av Поскольку МАх | AD, то
MA^A = LAD.
Ответ: если а с 90°, то угол между медианой и биссектрисой больше, чем угол между биссектрисой и высотой. Если а > >90 —наоборот; если а = 90°, углы равны.
266. Если AD — высота, AN — медиана, М—точка пересечения медиан, то
|?)В і ICDI 'СВ\_\СВ\ | СВ _ 2
8 |ЛО|+|ЛС| \AD\"\AN\ ГЖГ 3’
267. Из того, что S,}AM=SBCM и | ВС \ > | В А , | CM j >
> | МА |, следует, что sin В Л М > sin RCM. Значит, если углы острые, то ВАМ > ВСМ, тупым же можег быть лишь угол ВАМ; таким образом, всегда ВАМ> ВСМ.
138
268. Если ОА | = о, R — радиус окружности, К — точка пересечения О А и DE, то легко найти, чго
\0К\
a2—R2 a- + R2
2 а

269. Обозначения видны на рисунках. В первом случае (рис. 75, о) | АВ і < ААХ f -f-1 АХВХ j -f- BXB , = | AAX \ -J- AXC | -(-+ ] BXD I +1 BBX ] = I AC ' + ! BD Во втором случае (рис. 75, б)
а)
Б)
Рис. 75.
І АВ І > І ?К І — і /4К І > I BE І — І АС Обратное утверждение легко доказывается от противного.
270. Пусть К, L и ЛІ—точки пересечения проведенных прямых с АС. Обозначим \AC\-b, |ВС| = о, \АВ\=с, BL| = f.
По теореме о биссектрисе внутреннего угла найдем ,LCt-.
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 61 >> Следующая