Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Задачи по геометрии (планимерия) - Шарыгин И.Ф.

Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии (планимерия) — М.: Наука, 1982. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipogeometrii1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 .. 61 >> Следующая

для него | МА | = | AN \. Если же это условие не выполняется, то
искомый четырехугольник вырождается (одна из точек М или N
совпадает с вершиной О).
289. Возьмем точку А, для которой выполняются условия задачи, и какую-то другую точку Ах. Проведя через Ах прямые, параллельные AM и AN, пересекающие стороны в точках Мх и Nlt мы убедимся, что S0MtAiNi < S0M AN, и, следовательно, тем более площадь минимального четырехугольника, соответствующего точке Alt меньше площади четырехугольника OMAN — минимального четырехугольника, соответствующего точке А.
290. Радиус наибольшего круга равен радиусу окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 2R, т. е. 4RiVz. (Возьмем такой треугольник и на его сторонах как на диаметрах построим окружности.) Для любой окружности большего радиуса, если бы она была покрыта данными кругами, нашлась бы дуга больше чем в 120°, покрытая одним кругом но такая цуга содержит хорду 4R — противоречие.
В общем случае, если существует остроугольный треугольник со сторонами 2Ru 2R2, 2R3, то радиус описанной около него окружности и будет искомым. Во всех остальных случаях радиус наибольшего круга равен наибольшему из чисел Rx, Rit Rs.
291. Можно. На рис. 82 показаны три квадрата, покрывающие квадрат со стороной
144
292. Заметим сначала, что сторона наименьшего правильного треугольника, покрывающего ромб со стороной а и острым углом 60°, равна 2а. В самом деле, если вершины острых углов М и N ромба находятся на сторонах АВ и ВС правильного треугольника ABC и BNM = a, 90°^ 30°, то, найдя J BN | по
теореме синусов из д BNM и ICN | по теореме синусов из АКМС (К — вершина тупого угла ромба, которая, можно считать, расположена иа стороне АС), получим для _ ВС [ после преобразований выраже-0 cos (60° — а)
иие , вс | = 2«—;
учитывая, что 30° '? а -с 90е, найдем, что | ВС | 5:2а.
Легко видеть, что правильный Треугольник со стороной 3/2 можно покрыть тремя правильными треугольниками со стороной 1. Для этого каждый единичный треугольник положим так, чтобы одна его вершина совместилась с одной из вершин покрываемого треугольника, а середина противоположной стороны совпала бы с центром покрываемого треугольника.
Покажем теперь, что правильный треугольник со стороной Ь > 3/2 нельзя покрыть тремя правильными единичными треугольниками. Если бы такое покрытие было бы возможно, то вершины Л, В и С были бы покрыты разными треугольниками, а каждая из сторон АВ, ВС, С А покрывалась бы двумя треугольниками. Пусть Л принадлежит треугольнику І, В —II, С—III, центр треугольника О принадлежит, например, треугольнику I. Возьмем
иа АВ и АС точки М и /V так, что | AM | = j А N \ — к- Ь. По-
= — > 1, точки М и N также принадле-
О
скольку | ВМ | = | CN } =
жат треугольнику I и, следовательно, ромб AMON целиком покрыт треугольником, сторона которого меньше 2 | AM ] > 1, что невозможно.
\АМ\ \CN
293. Обозначим отношения
и
ML
LM
через а, р и|д>.
задачи 35) *= сфу,
МС ' NB
Тогда будем иметь (см. решение —, q-
S — Q (а+ 1)(Р + 1)(Y+ 1). Затем воспользуемся неравенством (а + І) ф + 1) (у -f 1) 2s (V5^+1/.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ II
1. Две вершины треугольника, центр вписанной окружности и точка пересечения высот лежат на одной окружности. Известны также радиусы вписанной и описанной окружностей — R и г. Найти периметр треугольника.
2. В треугольнике АБС помещены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Все три окружности имеют одну общую точку. Найти радиусы этих окружностей, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны г и R.
3. Доказать, что для любого прямоугольного треугольника радиус окружности, касающейся его катетов и описанной окружности (изнутри), равен диаметру вписанной окружности.
4. Задача Архимеда. Пусть А, В и С —три последовательные точки на прямой. Фигура, ограниченная дугами трех полуокружностей с диаметрами АВ, ВС и С А, расположенными по одну сторону от прямой ABC, носит название сапожный нож или арбелос Архимеда. Доказать, что радиусы двух окружностей, каждая из которых касается двух полуокружностей и прямой, перпендикулярной АС и проходящей через В, равны между собой.
5. Дан параллелограмм ABCD. Прямая, проходящая через вершину С, пересекает прямые АВ и AD в точках К и L. Площади треугольников КВС и CDL равны Р и Q. Найти площадь параллелограмма ABCD.
6. Доказать, что если треугольник, составленный из медиан данного треугольника, является тупоугольным, то меньший угол исходного треугольника меньше 45°.
7. Через точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD проведена прямая, пересекающая АВ
146
в точке М и CD в точке N. Через М и N проведены прямые, соответственно параллельные CD и АВ и пересекающие АС и BD в точках Е и F. Доказать, что BE параллельна CF.
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 .. 61 >> Следующая