Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Задачи по геометрии (планимерия) - Шарыгин И.Ф.

Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии (планимерия) — М.: Наука, 1982. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipogeometrii1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 >> Следующая

33. Пусть М — середина AD. Проверьте, что BF ,2+1 FM ,2 = = | В М?.
34. Проведите через D прямую, перпендикулярную биссектрисе угла А, обозначьте точки ее пересечения с АВ и АС через
& 1 j - с
К и М и докажите, что [ АК , =, AM | = —^ • Поскольку АСХ |=
= \ ABi\—p—а, | АС2 = \ ВС2\=р, точки К и М будут являться серединами отрезков С,С2 и В1В2.
35. Искомое геометрическое место точек состоит из двух прямых, проходящих через точку, симметричную точке А относительно прямой I, и образующих углы в 60° с прямой /.
36. Искомое множество есть дуга ВС окружности, описанной около Д А ВС, соответствующая центральному углу в 120°.
37. Искомое множество есть прямая —поляра точки А относительно данной окружности (см. задачу 190).
38. Углы AMN и BMN можно выразить через центральный угол, соответствующий АВ данной окружности (необходимо разобрать различные случаи положения точки А'), после чего можно
определить АМВ. Искомое геометрическое место есть окружность.
156
39. Объединение трех построенных параллелограммов представляет собой параллелограмм, описанный около данного треугольника, разделенный на четыре меньших. Нетрудно выразить отношения, в которых каждая из рассматриваемых диагоналей делится другой диагональю, через отрезки сторон большого параллелограмма.
Если параллелограммы являются прямоугольниками, то, параллельно перенеся две из трех рассматриваемых диагоналей, мы образуем из них треугольник, равный данному, а это означает, что углы между ними или равны соответствующим углам треугольника, или дополняют их до 180°. Искомое геометрическое место точек есть окружность, проходящая через середины сторон данного треугольника.
40. Докажем, что —= | cos ВАС |. Пусть О —центр ок-
I і
ружности, Р—середина ВС, К —середина АН. Треугольники
ППЛ Mrs, * о \МА | | АК і | OP I
DOA и MKA подобны. Значит, = \й(Г= ЧнГ=
= | cos ВАС |. Искомое геометрическое место точек есть окружность.
41. Воспользуйтесь результатами задач 154 и 175. Искомое множество, вообще говоря, состоит нз прямой и окружности.
43. Пусть А2— точка пересечения ААХ и ВС. Проведем через
/4j прямую, параллельную ВС, и обозначим точки ее пересечения
.л я Г) ГГ Д I 'Г 1 ВА2 ! | АХМ1 ] А\1И |
через к И М. Тогда т:щ = т:ш = — х
| ЛХВ і I AtC і 0 X - "v "угт • ~тЧ> ¦ Заменив три последних отношения отноше-АіС 1 A\t\ j
ниями синусов соответствующих углов, проделав то же самое для точек Bt и С і, воспользуемся теоремой Чевы (см. задачу 192).
44. Если Л3—точка пересечения прямой АЛ2 с ВСг, то отношение | BAS 1: \ АйС можно выразить через отношения, в которых разделены стороны треугольников А ВС и АуВ^Сх точками Аи Blt Сі и А2, В2, С2 соответственно. Проделав то же для всех вершин, можно проверить выполнение условий теоремы Чевы (см. задачу 192).
45. Ограничимся случаем, когда ЛВС —остроугольный треугольник. Рассмотрим параллелограмм AxMON (м и Л; на AJi, и AtCi). Поскольку Л,0 образует с A,Ct и ЛіВ! углы (90° — В)
, IАХМ AtM I cos В | AiL 1
и (90 — ?), будем иметь т_№ = тжг = _^=1ж.
57. Заменив R и г по формулам R = , г — , восполь-
Р
зуйтесь для 5 формулой Герона и равенством
ч-і4)('+§+?и^-Кт)!-
= I (са-}-Ьа—с2) (a2 — &2+с2) (~а2 + 62+С2).
о
58. Пусть ЛВС — данный треугольник, ЛЛЬ ВВ, CCt — биссектрисы. Если \AiBi\ = \AyCx\, то или Л1В1С = ЛіС1В (в этом
157
Случае A ABC будет равнобедренным), или Л,В,С+ А^В —180*. Во втором случае повернем А АгВ^С вокруг точки /1, на угол
В результате треугольники AfiiB и Л,б1С окажутся приложенными друг к другу и образуют треугольник, подобный А АБС. Если стороны A ABC есть а, Ь и с, то стороны полу-, ас аЬ ас , ab
чившегося треугольника будут равны и ь а+~с'
Q
Учитывая подобие, получим между а, Ь и с соотношение --------г 4-
+ -S---г-=> °+
а+с 6+с
ba+с'л—а3~\~ b~c -j- b2a -j- c2b+cza—a2b—aic-\-abc=0. (1)
Обозначим cos ВАС—х\ по теореме косинусов 62 + с2—аг = 2Ьсх. Умножая последнее равенство последовательно на а, b и с и
2 (b j с\. V
вычитая из (1), получим 2х (а+?>+с)-)-а=0:=> а ------V^t-.—.
IX “р 1
Поскольку 0 < а < Ъ + с,
— 4 <*< 0. (2) Заменив в теореме косинусов а через Ь, с и х и обозначив
— —"к, получим для X уравнение
(4* + 1) Л2—2л (4л'3+8х2+л') + 4л+ 1 =0.
Для того чтобы это уравнение при условиях (2) имело решение А > 0, КФ 1, должны выполняться неравенства
4х3+8*2+х>0, (3)
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 >> Следующая