Математические фантазии - Слойер С.
ISBN 5-03-002367-4
Скачать (прямая ссылка):
Р >• $ 600. Запишем это так:
Р= р, +80 000 - 0.0075. (1)
проценты
Чтобы упростить дальнейшие рассуждения, положим / = 0.0075. Тогда (1)
принимает вид
Р = р, + 800001. (2)
В конце второго месяца сумма взноса Р склады-
вается из части основной суммы р2 н процентов на остаток основной суммы
80 000 - рь
Р = р2 + (80000-р,)/. (3)
Для третьего месяца получим
Р - Рз~Ь (80 000 - pi - р2) /, (4)
для четвертого
Р = Pi + (80 000 - Pi - р2 - Рз) I. (5)
Вообще, для k-ro месяца
P = Pk + (80 000 - р! - р2- ... - Pa_iK (6)
Из (2) и (3) следует, что
Р! + 80 000/ = р2 + (80 000 - р,) /,
нли
Р2 = Pi 0 + *)¦ (7)
Из (3) и (4) следует
р2 + (80 000 - р,) I = рз + (80 000 - р, - р2) /,
или
Рз = Р20 +/)•
Объединяя это соотношение с (7), получаем
P3 = PiO +i)2- (8)
60
Фантазия IS
Из (4) и (5) вытекает
р4 = РзО +*')>
откуда с учетом (8) получаем
P4 = Pi(l+03- (9)
Объединим все полученные соотношения:
Pi.
P2 = Pi(l +*),
P3 = PiO +02. Lp4 = P.(l+t)3.
(10)
Можно показать по индукции, что, продолжая рассуждать таким же образом,
мы получим
Pft = Pi0+0* '•
Поскольку рь р2, рз и т. д.- это взносы в счет погашения основной ссуды,
Pi "Ь Рг 4* - • ¦ "+ Р240 = ^0 ООО,
или, с учетом соотношении (10),
Pi + Pi (1 + 0 + Pi (1 + О2 + • ¦ - + Pi (1 О239 ~
- 80 ООО.
Левая часть этого уравнения - это геометрическая прогрессия. Применяя
формулу суммы геометрической прогрессии, получаем
Pi [(1 +0240 -М
(1 + 0 или
(80 000) i
= 80 000,
Р i;
(1 -И)240 - 1
Используя таблицы процентов, логарифмы или калькулятор, найдем pi с
точностью до центов:
р, " 119.78.
Таким образом, по формуле (1)
Р= 119.78 + 600,
или
Р = $ 719.78.
1цекарства и прогрессии 61
^Заметим, что за 20 лет будет выплачено в общей сложности 172 747.20
долл.
Задача. Определите месячные взносы на покрытие 1 ссуды 70000 долл. на 25
лет под 10 % годовых.
Фантазия 16
ЛЕКАРСТВА И ПРОГРЕССИИ
Математика: алгебра, геометрическая прогрессия
Врач установил, что в организме больного находится 10 единиц некоего
лекарства. Если это лекарство в организм больше не вводить, то через час
в организме останется одна треть его первоначального количества. Все
остальное выводится из организма или нейтрализуется в процессе внутренних
химических реакций. Составим таблицу количества лекарства в организме:
Час Количество лекарства
0 10
1 (1/3)10
2 (1/3)210
3 (1/3)310
4 (1/3)40
' 24 ' (1/ЗГ'ю
Предположим, что через 24 часа снова производится инъекция 10 единиц
этого лекарства. Сразу после этой (первой) инъекции количество лекарства
в организме оказывается равным
А,= 10 + (1/3)2410.
Количество лекарства В, непосредственно перед этой инъекцией указано в
таблице:
В, =(1/3)2410.
Лекарства и прогрессии
63
Л, = 10 + (1/3)2410,
А2= 10 + (1 /З)2410 + (1/3)2'2410,
Л3= 10 + (1/3)2410 + (1/3)2'24 10 + (1/3)3 24 10, л4= ю + (1/3)24 10 +
(1/3)2'24 10 + (1/3)3'2410 +
+ (1/3)4 2410.
Теперь схема должна быть ясна: если этот процесс продолжить, то
количества Вк и Ак лекарства в организме до и после k-a инъекции составят
Bk = (1/3)24 10 + <1/3)2 24 10 + (1/3)3'2410 +
+ ... + (1/3)* 2410
и
Ak= 10 + (1/3)24 10 + (1/3)2 24 10 + (1/3)3 24 10 +
+ ... +(1/3)* 2410.
Итак, мы видим, что последовательности Bk и Ак образуют геометрические
прогрессии. По формуле суммы геометрической прогрессии получаем
(1/3)24 Ю (1 - (1/3)*-24)
* 1 - (1/3)24
С ростом k величины 1 /3*24 и l/3(fc+l) 24 стремятся к нулю.
Следовательно, Вк и Ак стремятся соответственно к величинам В и А,
которые задаются формулами
(1/3)**- ю 1 - 1/324
и
Л- 10
1 - (1/3)24 •
Предположим, что в какой-то момент количество лекарства в организме перед
инъекцией действительно достигнет В. Тогда сразу после инъекции это
количество окажется равным
щ | о- ip | (1/3)** 10 ю ,
"1~ 1 - (1/3)24 1 _ (1/3)24 '
62
Фантазия 16
Через час после этой инъекции лекарства останется 1/3 Ai, через 2 часа
(1/3)2 Ль через 3 часа (1/3)3 А\ и т. д. Таким образом, если вторая
инъекция производится через 24 часа после первой, то количество В2
лекарства в организме перед второй инъекцией составляет
В2 =(1/3)24 Аи
или
В2 = (1/3)24 10 + (1/3)2'24 10.
Количество лекарства А2 сразу же после второй инъекции составляет
А2= 10 + (1/3)2410 + (1/3)2'2410.
Если третья инъекция производится через 24 часа после второй, то
количества В3 и А3 лекарства в организме соответственно до и после этой
инъекции оказываются равными
В3 = (1/3)24 10 + (1/3)2'2410 + (1/3)3'24 10
и
А3= 10 + (1/3)24 10 + (1/3)2'24 10 + (1/3)3 24 10
(проведите рассуждения самостоятельно).
Аналогично, если четвертая инъекция производится через 24 часа после
третьей, то количества В* и Ал лекарства в организме соответственно до и
после инъекции равны
В4=0/з)24 ю + (1/з)2'24 ю + о/з)3;24 ю + (1/3)424 ю
и
А, = 10 + (1/3)24 10 + (1/3)2 24 10 + (1/3)3'2410 +
+ (1/3)42410
(проведите рассуждения самостоятельно).
Объединяя все эти формулы, получаем, что
в, = 0/3)" ю,
В2=(1/3)24 Ю + О/З)2'2410,
В3 = (1/3)24 10 + (1/3)2 24 10 + (1/3)3'241 о,