Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Математические фантазии - Слойер С.

Слойер С. Математические фантазии — М.: Мир, 1993. — 184 c.
ISBN 5-03-002367-4
Скачать (прямая ссылка): matematfantazii1993.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 41 >> Следующая

Р >• $ 600. Запишем это так:
Р= р, +80 000 - 0.0075. (1)
проценты
Чтобы упростить дальнейшие рассуждения, положим / = 0.0075. Тогда (1)
принимает вид
Р = р, + 800001. (2)
В конце второго месяца сумма взноса Р склады-
вается из части основной суммы р2 н процентов на остаток основной суммы
80 000 - рь
Р = р2 + (80000-р,)/. (3)
Для третьего месяца получим
Р - Рз~Ь (80 000 - pi - р2) /, (4)
для четвертого
Р = Pi + (80 000 - Pi - р2 - Рз) I. (5)
Вообще, для k-ro месяца
P = Pk + (80 000 - р! - р2- ... - Pa_iK (6)
Из (2) и (3) следует, что
Р! + 80 000/ = р2 + (80 000 - р,) /,
нли
Р2 = Pi 0 + *)¦ (7)
Из (3) и (4) следует
р2 + (80 000 - р,) I = рз + (80 000 - р, - р2) /,
или
Рз = Р20 +/)•
Объединяя это соотношение с (7), получаем
P3 = PiO +i)2- (8)
60
Фантазия IS
Из (4) и (5) вытекает
р4 = РзО +*')>
откуда с учетом (8) получаем
P4 = Pi(l+03- (9)
Объединим все полученные соотношения:
Pi.
P2 = Pi(l +*),
P3 = PiO +02. Lp4 = P.(l+t)3.
(10)
Можно показать по индукции, что, продолжая рассуждать таким же образом,
мы получим
Pft = Pi0+0* '•
Поскольку рь р2, рз и т. д.- это взносы в счет погашения основной ссуды,
Pi "Ь Рг 4* - • ¦ "+ Р240 = ^0 ООО,
или, с учетом соотношении (10),
Pi + Pi (1 + 0 + Pi (1 + О2 + • ¦ - + Pi (1 О239 ~
- 80 ООО.
Левая часть этого уравнения - это геометрическая прогрессия. Применяя
формулу суммы геометрической прогрессии, получаем
Pi [(1 +0240 -М
(1 + 0 или
(80 000) i
= 80 000,
Р i;
(1 -И)240 - 1
Используя таблицы процентов, логарифмы или калькулятор, найдем pi с
точностью до центов:
р, " 119.78.
Таким образом, по формуле (1)
Р= 119.78 + 600,
или
Р = $ 719.78.
1цекарства и прогрессии 61
^Заметим, что за 20 лет будет выплачено в общей сложности 172 747.20
долл.
Задача. Определите месячные взносы на покрытие 1 ссуды 70000 долл. на 25
лет под 10 % годовых.
Фантазия 16
ЛЕКАРСТВА И ПРОГРЕССИИ
Математика: алгебра, геометрическая прогрессия
Врач установил, что в организме больного находится 10 единиц некоего
лекарства. Если это лекарство в организм больше не вводить, то через час
в организме останется одна треть его первоначального количества. Все
остальное выводится из организма или нейтрализуется в процессе внутренних
химических реакций. Составим таблицу количества лекарства в организме:
Час Количество лекарства
0 10
1 (1/3)10
2 (1/3)210
3 (1/3)310
4 (1/3)40
' 24 ' (1/ЗГ'ю
Предположим, что через 24 часа снова производится инъекция 10 единиц
этого лекарства. Сразу после этой (первой) инъекции количество лекарства
в организме оказывается равным
А,= 10 + (1/3)2410.
Количество лекарства В, непосредственно перед этой инъекцией указано в
таблице:
В, =(1/3)2410.
Лекарства и прогрессии
63
Л, = 10 + (1/3)2410,
А2= 10 + (1 /З)2410 + (1/3)2'2410,
Л3= 10 + (1/3)2410 + (1/3)2'24 10 + (1/3)3 24 10, л4= ю + (1/3)24 10 +
(1/3)2'24 10 + (1/3)3'2410 +
+ (1/3)4 2410.
Теперь схема должна быть ясна: если этот процесс продолжить, то
количества Вк и Ак лекарства в организме до и после k-a инъекции составят
Bk = (1/3)24 10 + <1/3)2 24 10 + (1/3)3'2410 +
+ ... + (1/3)* 2410
и
Ak= 10 + (1/3)24 10 + (1/3)2 24 10 + (1/3)3 24 10 +
+ ... +(1/3)* 2410.
Итак, мы видим, что последовательности Bk и Ак образуют геометрические
прогрессии. По формуле суммы геометрической прогрессии получаем
(1/3)24 Ю (1 - (1/3)*-24)
* 1 - (1/3)24
С ростом k величины 1 /3*24 и l/3(fc+l) 24 стремятся к нулю.
Следовательно, Вк и Ак стремятся соответственно к величинам В и А,
которые задаются формулами
(1/3)**- ю 1 - 1/324
и
Л- 10
1 - (1/3)24 •
Предположим, что в какой-то момент количество лекарства в организме перед
инъекцией действительно достигнет В. Тогда сразу после инъекции это
количество окажется равным
щ | о- ip | (1/3)** 10 ю ,
"1~ 1 - (1/3)24 1 _ (1/3)24 '
62
Фантазия 16
Через час после этой инъекции лекарства останется 1/3 Ai, через 2 часа
(1/3)2 Ль через 3 часа (1/3)3 А\ и т. д. Таким образом, если вторая
инъекция производится через 24 часа после первой, то количество В2
лекарства в организме перед второй инъекцией составляет
В2 =(1/3)24 Аи
или
В2 = (1/3)24 10 + (1/3)2'24 10.
Количество лекарства А2 сразу же после второй инъекции составляет
А2= 10 + (1/3)2410 + (1/3)2'2410.
Если третья инъекция производится через 24 часа после второй, то
количества В3 и А3 лекарства в организме соответственно до и после этой
инъекции оказываются равными
В3 = (1/3)24 10 + (1/3)2'2410 + (1/3)3'24 10
и
А3= 10 + (1/3)24 10 + (1/3)2'24 10 + (1/3)3 24 10
(проведите рассуждения самостоятельно).
Аналогично, если четвертая инъекция производится через 24 часа после
третьей, то количества В* и Ал лекарства в организме соответственно до и
после инъекции равны
В4=0/з)24 ю + (1/з)2'24 ю + о/з)3;24 ю + (1/3)424 ю
и
А, = 10 + (1/3)24 10 + (1/3)2 24 10 + (1/3)3'2410 +
+ (1/3)42410
(проведите рассуждения самостоятельно).
Объединяя все эти формулы, получаем, что
в, = 0/3)" ю,
В2=(1/3)24 Ю + О/З)2'2410,
В3 = (1/3)24 10 + (1/3)2 24 10 + (1/3)3'241 о,
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 41 >> Следующая