Математические фантазии - Слойер С.
ISBN 5-03-002367-4
Скачать (прямая ссылка):
случай нужно отбросить.
92
Фантазия 23
2-й случай. 3р - 1 < 0 и р - 1 < 0. Из этих неравенств следует, что Зр <
1 и р < 1, или просто
Р<{.
Таким образом, мы приходим к выводу, что суд из двух присяжных лучше суда
из четырех присяж-. I
иых, если р < -д-, а суд из четырех присяжных лучше, если р>у. Если P - -
j' т0 °^а сУда имею? одинаковые шансы принять на первом заседании
правильное решение. Если же р > у (а в цивилизованном обществе так и
должно быть!), то суд из четырех присяжных окажется предпочтительнее суда
из двух присяжных.
Сделаем одно интересное замечание, касающееся проведенных рассуждений. Мы
пришли к заключению, что лучше выбрать суд из двух присяжных, а
не из четырех, если р<~. Другими словами, если
вероятность индивидуального принятия правильного решения мала, то суд из
двух человек предпочтительнее суда из четырех человек, или, что то же
самое, если вероятность индивидуального принятия неправильного решения
высока, то суд из двух присяжных предпочтительнее суда из четырех
присяжных.
Задача 1. Используя прежнее определение оптимальной численности суда,
установите, что предпочтительнее: суд из одного присяжного или из трех?
Задача 2. Человек, отправляющийся в путешествие, может выбрать
двухмоторный самолет или четырехмоторный. Если один из моторов
двухмоторного самолета выйдет из строя, самолет не сможет лететь.
Четырехмоторный же самолет может продолжать полет с тремя действующими
моторами, но с двумя уже не может. Какой самолет следует выбрать, если:
1) вероятность выхода из строя одного мотора у обоих самолетов одинакова;
2) вероятность того, что данный мотор выйдет из строя за время
путешествия, равна 1/10 для
Назначим цену
93
двухмоторного самолета и 1/12 для четырехмоторного?
Задача 3. Используя прежнее определение оптимальной численности суда,
установите, что предпочтительнее: суд из пяти присяжных или из трех?
Фантазия 24
НАЗНАЧИМ ЦЕНУ
Математика: квадратичные функции
В задачниках по алгебре часто встречаются задачи такого типа:
Владелец фабрики установил, что если он будет продавать свои изделия по
цене х долл., то его годовая прибыль Р составит
р = -20х2 + 7000л: - 300000.
Определить значение х, при котором прибыль будет максимальной.
Многим ученикам такие задачи кажутся слишком искусственными, однако их
можно сделать более реалистичными.
Когда фирма должна принять решение, производить ли ей некоторое новое
изделие, она обычно консультируется с экспертами по маркетингу по поводу
спроса иа это изделие. Спрос на тот или иной товар обычно непосредственно
связан с его ценой: при увеличении цены спрос падает. Предположим, что
эксперты по маркетингу представили нам следующую таблицу:
Цена
Годовой спрос
(в долл.)
50
100
150
300
s
d
5000
4000
3000
0
94
Фантазия 24
Предположим, что изготовление каждого изделия обходится в 50 долл., так
что фирма, конечно, не станет продавать этот товар дешевле.
На основании этих данных можно построить следующий график:
d
Нетрудно убедиться, что все экспериментальные точки лежат на одной
прямой. Используя любые две из этих точек, получим уравнение прямой:
d=- 20s + 6000. (1)
Соответствующий отрезок прямой показан на следующем графике:
d
Назначим цену
Вообще, экспериментальные точки могут лечь на одну прямую, но могут и
просто "лежать близко" к некоторой прямой. В этом случае для того, чтобы
написать уравнение вида (I), нужно найти прямую, которая является
наилучшим приближением в смысле наименьших квадратов (см. следующий
рисунок).
d
Обозначив через Р годовую прибыль, получим Р = общий доход - затраты на
производство,
P = sd - 50rf,
Р = (s - 50) d.
С учетом (1) получим
Р = (s - 50) (-20s + 6000),
Р = - 20s2 + 7000s - 300000. (2)
(Сравните этот результат с условием задачи, приведенной в начале
раздела.)
Теперь наша задача состоит в определении цены s, s^50, при которой
годовая прибыль будет максимальной. Эту задачу можно решить, например,
так:
р = -20s2 + 7000s - 300 000 =
= - 20 [s2 - 350s] - 300 000 =
(дополняем до квадрата)
= -20 [s2 - 350s + 1752] + 312 500 =
= -20 [s - 175]2 + 312 500. (3)
96
Фантазия 24
Формула (3) показывает, что годовая прибыль будет максимальной при s =
175. График s в зависимости от Р выглядит так:
Задача 1. Для некоторого нового товара эксперты по маркетингу дали
следующий прогноз:
Цена (в долл.)
S
100
300
600
800
Годовой спрос
d
7000
5000
2000
0
Затраты на производство одного изделия составляют 40 долл. Найдите цену,
максимизирующую годовую прибыль.
Задача 2. Заметим, что в нашем примере, а также в задаче 1 оптимальная
цена равна среднему арифметическому между минимальной и максимальной
ценами. Покажите, что в подобной ситуации это всегда будет именно так.
(Положите d = As + В, где Л<0 и В> 0, и пусть С - затраты на производство
одного изделия.)
Задача 3. Предположим, что эксперты по маркетингу предоставили нам
следующие данные:
Скучная война
97
Цена (в долл.) Годовой спрос