Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Математические фантазии - Слойер С.

Слойер С. Математические фантазии — М.: Мир, 1993. — 184 c.
ISBN 5-03-002367-4
Скачать (прямая ссылка): matematfantazii1993.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 41 >> Следующая

свободно колебаться, она будет производить колебания нескольких слышимых
частот и нескольких частот, слишком слабых для человеческого уха. Эти
дополнительные частоты, которые называются обертонами или гармониками,
находятся в определенном отношении к основному тону: их частоты в целое
число раз больше частоты основного тона. Так, если струна настроена на
колебания
*) Ряд ограничений связан с выбором инструмента, на котором исполняется
музыка. Одним из самых популярных инструментов является человеческий
голос, а певческие голоса от баса до сопрано охватывают диапазон
приблизительно от 80 до 900 герц.
I
120
Фантазия 31
с частотой в 440 герц, что является современным международным стандартом
для ноты ля первой октавы, то она будет также производить колебания с
частотами 880, 1760, 3520, .. . герц. Относительная слышимость этих
обертонов зависит от колеблющейся среды: хотя обертоны возникают в любой
среде, однако слышны они будут в разных соотношениях. Именно эти
соотношения определяют особое качество звучания музыкального инструмента,
которое называется его тембром *).
Если мы хотим ограничиться музыкой, состоящей из последовательности
простых тонов (конечно, не забывая о том, что эти тона никогда не будут
строго простыми), то выбор звуковых частот гаммы окажется менее сложным.
Музыка, в которой две ноты никогда не исполняются одновременно,
называется гомофонической. При этом не нужно заботиться о созвучии тонов,
т. е. о том, как два тона звучат вместе. Однако в традиционной гармонии
западного музыкального искусства имеются правила, описывающие приятные и
неприятные звуковые последовательности. Например, небольшие скачки от
одной ноты к другой предпочтительнее больших. Но нужно иметь в виду, что
слишком маленькие скачки от одной частоты к другой, например всего в одни
или два герца, будет трудно уловить. Таким образом, при выборе гаммы
нужно учитывать несколько ограничений: диапазон слышимых частот, диапазон
частот данного музыкального инструмента, требование, согласно которому
тона должны находиться не слишком близко друг к другу, но и не слишком
далеко друг от друга, и, может быть, необходимость ограничить общее число
тонов, поскольку с ростом этого числа увеличивается сложность инструмента
и игры на нем.
Гармония
Сейчас мы слушаем в основном не гомофоническую, а полифоническую музыку,
в которой две или более нот звучат одновременно. Гармония - это и
') Jeans J. Science and Music. - New York, Dover Publications, Inc.,
1968, p. 84.
Сказки о гаммах
есть наука о сочетаниях тонов, которые приятно звучат вместе.
В пятом веке до нашей эры греческий философ и математик Пифагор занимался
изучением гармонии и сделал несколько замечательных открытий. Прежде
всего он открыл закон, который теперь называют первым законом Мерсенна.
Этот закон гласит, что если струна и ее натяжение остаются неизменными, а
длина струны меняется, то период ее колебаний пропорционален длине1). Это
означает, что частота колебаний обратно пропорциональна длине струны.
Если одна струна вдвое короче другой, то частота ее колебаний будет вдвое
больше, чем частота другой струны. Учитывая этот принцип, Пифагор начал
экспериментировать: он делил равномерно натянутую струну в различных
отношениях, а затем определял на слух, при каких соотношениях длин
получаются гармонические пары тонов.
Например, когда Пифагор закрепил струну в точке, отстоящей от конца
струны на 2/3 ее длины, так что длины двух получившихся отрезков
соотносились как 2:1, он обнаружил, что эти два участка струны дают очень
точное созвучие. Интервал между такими звуками, как мы уже говорили,
теперь называют октавой. Например, Пифагор мог слышать ноту до первой
октавы и ноту до второй октавы. (Мы используем современные названия нот.)
Действительно, при таком отношении частот получается интервал, который
можно считать самым благозвучным. Сразу же добившись такого успеха с этим
простейшим соотношением, Пифагор, наверно, захотел проверить следующее
простое отношение, а именно 3:2. И в самом деле, две струны, длины
которых относятся как 3:2, тоже дают очень приятное созвучие. Такой
интервал мы теперь называем квинтой. Переходя затем к отношению 4 :3
(поскольку 4:2= 2:1), мы находим третью приятную и важную гармонию -
кварту. В современной гамме
'• Jeans J. Mathematics of Music. In: The World of Mathematics, ed. J. R.
Newman. - New York, Simon and Schuster, 1956, p. 2297.
122
Фантазия 31
с основным звуком до интервал между до и соль составляет квинту, а
интервал между до и фа-кварту. Заметим, что если мы захотим взять квинту
вверх от фа, т. е. (4/3) (3/2) = 2, то получим тон, составляющий октаву с
исходным до, т. е. имеющий вдвое большую частоту. Итак, интервал между фа
и следующим до составляет квинту. На музыкальном языке кварту называют
обращением квинты. Перемещаясь вниз на кварту, мы получаем ноту с тем же
названием, что и перемещаясь вверх на квинту. Таким образом, между нотами
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 41 >> Следующая