Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Математические фантазии - Слойер С.

Слойер С. Математические фантазии — М.: Мир, 1993. — 184 c.
ISBN 5-03-002367-4
Скачать (прямая ссылка): matematfantazii1993.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 41 >> Следующая

до, фа и соль существует очень важная связь, которая определяется
простотой отношений их частот, а также их благозвучием. Они образуют
основу простейшей гармонии. Почему же все-таки сочетания тонов, частоты
которых образуют простые отношения, оказываются так приятны для слуха?
Этот вопрос по-прежнему вызывает споры.
Открыв соотношение между этими тремя тонами, Пифагор, по-видимому, решил,
что у него уже достаточно информации, чтобы построить гамму на основе
единственного принципа: для каждой ноты в гамме должна присутствовать
другая нота, отстоящая от нее на квинту. Ноты до и фа этому принципу уже
удовлетворяют, поскольку соль - это квинта вверх от до, а до-от фа. А как
же соль? Нужно включить в гамму еще одну ноту, частота которой относилась
бы к частоте ноты соль как 3 : 2.
Для удобства представим себе, что частота ноты до первой октавы, с
которой мы начали, равна 100. (На самом деле по общему соглашению она
устанавливается равной 261.63 герц.)Тогда частота ноты соль той же
октавы, которая относится к частоте до как 3 : 2, будет равна 150 герц.
Следовательно, квинта вверх от соль должна иметь частоту (3/2) (150) или
(3/2)2 (100)-900/4 = 225. Но заметим, что эта новая нота, которую мы
теперь называем ре, более чем на октаву выше исходной ноты до\ это
слишком большое расстояние (а мы уже договорились, что меньшие расстояния
предпочтительнее). Таким образом, естественно будет умножить частоту 225
иа 1/2, чтобы спустить ноту ре на октаву вниз и приблизить
Сказки о гаммах
123
ее к исходной ноте до. В результате получим {9/4)(1/2)(100)=(9/8)(100)_
Частота новой ноты ре относится к частоте исходной ноты до как 9/8.
А что дальше? Построим ноту, которая составляет квинту к ре, т. е. имеет
частоту (3/2)2(100), затем спустим ее на октаву вниз, как мы делали это
раньше, и получим ноту ля с частотой, составляющей 27/16 частоты ноты до
первой октавы. Затем повторим эту процедуру еще раз; умножим частоту ля
на 3/2 и спустим ее на октаву вниз; получим ноту ми с частотой 81/64, что
составляет 34/26 частоты до первой октавы.
Таблица 1 показывает, как соотносятся частоты первых шести нот гаммы,
начиная с до первой октавы. Вспомним, что ноту фа можно получить,
спустившись на квинту вниз от ноты до (умножив частоту до на 2/3), а
затем поднявшись вверх на октаву (умножив частоту на 2); в результате
получится соотношение частот 4/3.
Таблица 1
Метод Пифагора построения хроматической гаммы
Современное название ноты
до соль ре ля ми си
фа-диез
Долго ли мы будем продолжать в том же духе? Можно было бы продолжать и
вечно, но, как мы уже заметили, очень трудно играть гаммы, в которых
слишком много нот. Древняя музыка часто строилась на гаммах, состоящих
лишь из пяти нот. Такая гамма называлась пентатонической. Ее ноты
находятся в том же соотношении, что и первые пять нот, которые мы
получили методом Пифагора; до, соль, фа,
Отношение частоты к частоте ноты до
1 1
(3/2) 1.5
(3/2)2(1/2) 1.125
(3/2)3П/2) 1.6875
(3/2)*(1/2)2 1.2656
(3/2)5(1/2)2 1.8984
(3/2)6(1/2)3 1.423
124
Фантазия 31
ре и ля, хотя выбор частоты исходной ноты может быть произвольным. Сам
Пифагор решил остановиться после того, как получил семь различных нот,
так что его гамма состоит из нот ля, си, до, ре, ми, фа соль - не в
порядке построения, а в порядке возрастания частот.
Никакой внутренней причины для остановки этого процесса не существует, но
в Греции была широко известна семиструнная лира, и, видимо, такая гамма
казалась не слишком простой и не слишком сложной. Но существует ли
естественная математически обоснованная точка остановки этого процесса
построения нот?
Процесс мог бы остановиться естественным образом, если бы, построив новый
тон на квинту выше предыдущего, мы получили исходный тон, замкнув таким
образом цикл тонов. Однако достаточно взглянуть на математическую сторону
такого построения, чтобы понять, что этого никогда не произойдет. Наш
множитель (3/2) означает, что частота каждой новой ноты будет равна
частоте ноты до первой октавы, умноженной на Зп/Зт для некоторых целых
пит. Числитель всегда будет нечетным, а знаменатель четным, и ни для
одной последующей ноты нашей гаммы мы не получим отношения 1 : 1. Метод
Пифагора приводит к бесконечному порождению одного нового тона за другим,
каждый в интервале квинты к предыдущему. Однако мы можем спросить, а не
окажемся ли мы когда-нибудь близко к отношению 1:1? На этот раз ответ
будет положительным. Построив 12 различных тонов, мы придем к
тринадцатому, частота которого относится к частоте до первой октавы как
1.01364:1. Эту разницу 0.01364 называют пифагоровой коммой'). Поскольку
она не слишком велика, представляется разумным остановиться после
построения 12 различных тонов. Полученная таким образом гамма изобилует
квинтами и достаточно богата, чтобы можно было создавать множество других
интересных гармоний. Но так ли это?
о Backus J. The Acoustical Foundations of Music. 2nd ed - New York, W. W
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 41 >> Следующая