Математические фантазии - Слойер С.
ISBN 5-03-002367-4
Скачать (прямая ссылка):
176
Приложение I
предложения. Необходимо подчеркнуть, что мы сделали предположение о
линейной зависимости спроса и предложения от цены. Модель, в которой
этого предположения не делается, оказывается гораздо сложнее. В таких
задачах далеко не всегда удается найти явное решение.
Задача, Проведите аналогичные рассуждения для
$п+1== 3/?" 2,
^л+1 = -6рп+1 + 8.
Приложение I
НЕРАВЕНСТВО МЕЖДУ СРЕДНИМ АРИФМЕТИЧЕСКИМ И СРЕДНИМ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ
Начнем с основного неравенства между средним арифметическим передним
геометрическим:
Ц±->лГл, (D
где а, Ь ^ 0. Равенство в (1) достигается тогда и
только тогда, когда а = Ь. Этот результат легко доказать исходя из
известного неравенства
(а - bf > 0. (2)
Таким образом,
о2 - 2аЬ + Ь2 ^ 0 и (если прибавить к обеим частям 4аЬ)
a2 + 2ab + b2>4ab,
4
Предполагая, что а,Ь^ 0, и извлекая квадратный корень из обеих частей,
получаем неравенство
в+ ъ
Приложение II
177
Равенство в (2) и, следовательно, в (3) достигается тогда и только тогда,
когда а = Ь.
Можно показать, что
О | 4" 0>2 д3 \ ЗЛ ~~
- а&ъ* (4)
где oi, а-2, аз ^ 0. Равенство в (4) достигается тогда и только тогда,
когда fli = с2 = а3.
Продолжая этот процесс, приходим к неравенству
П
"Г <*2 "Ь • • * 4" Ап \
-----------------> Уа:°2 • - - ап . (5)
где Oi^O при х=1,2, п. Равенство в (5) достигается тогда и только тогда,
когда о, = а, для всех i и j. Доказательство неравенства (5) можно найти
в книге Slcyer С. W. Algebra and Its Applications. Addison-Wesley, 1970.
Приложение II
ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим уравнение вида
*п+1 =axn + b, (1)
где а и b - константы. Его называют разностным уравнением. Решением
такого уравнения является последовательность хо, Х\, х2, ..., хп, - --,
где хк+\ = = ахк + b при k = 0, 1,2,.... Мы приведем пример,
иллюстрирующий метод решения разностных уравнений, а затем покажем, что
этим методом можно решить любое такое уравнение.
Пример. Рассмотрим уравнение -^п+1 2х" -f- 3,
(2)
178
Приложение II
где xq = 4. Уравнение
¦*п+1 2хл = О,
Г _____ Оу W
ХП+] - zxn
называется однородньш уравнением, соответствующим разностному уравнению
(2). Положим в (3) х0 = А = const. Тогда
*1 = 2 А, х2 - 22А, хг = 23А
н в общем случае
хп = 2яА. (4)
Теперь положим 1(2) Хп - В при всех п. Получим ? = 2В + 3,
В = -3.
Таким образом,
*" = -3 (5)
представляет собой частное решение уравнения (2). Общее решение
разностного уравнения (2) теперь получается в результате сложения решений
(4) и (5):
хп = 2пА-3. (6)
В нашем примере дг0 = 4. Подставляя л=0 в (6), получаем
4 = Л - 3,
А = 7.
Таким образом, при Хо - 4 решение уравнения (2) имеет вид
*я = (2")7-3. (7)
Менее формально, решением уравнения (2) является последовательность
4, 11, 25, 53, 109.......
Приложение II
17"
Теперь покажем, что этим методом можно пользоваться и в общем случае.
Рассмотрим разностное уравнение
xn+i &хп -f- Ьt (8)
где Хо задано. Заметим, что если а = 1, то решением этого уравнения будет
обычная арифметическая прогрессия
Хо, х0 + b, хо + 2b, Хо + 3ft.
У
Иными словами,
х" = х0 + {п- 1)Ь.
Теперь предположим, что в (8) а Ф1. Для уравнения
хп+1 = ахл + Ь (9)
запишем соответствующее ему однородное уравнение *л+1=я*". (Ю)
Предположим, что в (10) х0 = А = const. Тогда
х, - аА, х2 = с? А, х3 = а? А
и в общем случае
хп - с? А. (11)
Теперь положим в (9) х" = В для всех п. Получим
В = аВ + Ь,
В=±1-а
(напомним, что а =^= I). Другими словами,
*п=Т^Г <12>
представляет собой частное решение уравнения (9).
Общее решение уравнения (9) получается сложением решений (11) и (12):
хп=*апА-(13)
180
Приложение II
Поскольку мы предположили, что х0 задано, подставив в (13) п - 0, получим
л . Ь
хо=А + -[гг^>
л Ь
А = хо - ^ПТ-
*
Следовательно, (13) принимает внд
Хп=а" [*> - т=г] + т^г- <14)
Теперь покажем, что (14) действительно является решением уравнения (9)
прн данном дг0. Мы должны показать, что (14) удовлетворяет уравнению
*"+, = ах" + Ь. (15)
По формуле (14)
| 1 1 - а
=а(аП[х°-т^]) + т^Г'
в то время как
axn + b = a(an[x0-14^] + T^T) + b =
= а(ап[х0-т^-])+1^т+Ь^
= О(ап[д:0-т4г]) + 14г.
Следовательно, выражение (14) удовлетворяет условию хп+] = ах" + Ь.
Мы рекомендуем читателю освоить эту технику, но не пытаться запомнить
формулу (14).
Пример. Рассмотрим разностное уравнение
*я+1 = 0.2*" + 0.7, (16)
x"+i=an+l лг0 - -у--
Приложение II
181
где лго = 3. Соответствующее однородное уравнение имеет вид
хп+1 = 0.2хп.
Если х0 = А = const, то
*1 =0.2 А, хя = (0.2)яА,
*з - (0-2)3 А
и в общем случае
*" = (0.2)" А (17)
Чтобы найти частное решение, положим в (16) хп = В для всех п. Получим
В = 0.2В + 0.7,
В = 7/8.
Иными словами, частным решением уравнения (16) является
хп = 7/8. (18)
Суммируя (17) и (18), получаем общее решение
уравнения (16):
хп = ф.2)пА + ^. (19)
Зная, что x0 = 3, и полагая в (19) п = 0, полу-
чаем
3 = Л + |.
А=^~
А 8 .
Следовательно, решение уравнения (16) прн Хо - 3 имеет внд
л Р71 , 7
182
Приложение II