Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Математические фантазии - Слойер С.

Слойер С. Математические фантазии — М.: Мир, 1993. — 184 c.
ISBN 5-03-002367-4
Скачать (прямая ссылка): matematfantazii1993.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 .. 41 >> Следующая

176
Приложение I
предложения. Необходимо подчеркнуть, что мы сделали предположение о
линейной зависимости спроса и предложения от цены. Модель, в которой
этого предположения не делается, оказывается гораздо сложнее. В таких
задачах далеко не всегда удается найти явное решение.
Задача, Проведите аналогичные рассуждения для
$п+1== 3/?" 2,
^л+1 = -6рп+1 + 8.
Приложение I
НЕРАВЕНСТВО МЕЖДУ СРЕДНИМ АРИФМЕТИЧЕСКИМ И СРЕДНИМ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ
Начнем с основного неравенства между средним арифметическим передним
геометрическим:
Ц±->лГл, (D
где а, Ь ^ 0. Равенство в (1) достигается тогда и
только тогда, когда а = Ь. Этот результат легко доказать исходя из
известного неравенства
(а - bf > 0. (2)
Таким образом,
о2 - 2аЬ + Ь2 ^ 0 и (если прибавить к обеим частям 4аЬ)
a2 + 2ab + b2>4ab,
4
Предполагая, что а,Ь^ 0, и извлекая квадратный корень из обеих частей,
получаем неравенство
в+ ъ
Приложение II
177
Равенство в (2) и, следовательно, в (3) достигается тогда и только тогда,
когда а = Ь.
Можно показать, что
О | 4" 0>2 д3 \ ЗЛ ~~
- а&ъ* (4)
где oi, а-2, аз ^ 0. Равенство в (4) достигается тогда и только тогда,
когда fli = с2 = а3.
Продолжая этот процесс, приходим к неравенству
П
"Г <*2 "Ь • • * 4" Ап \
-----------------> Уа:°2 • - - ап . (5)
где Oi^O при х=1,2, п. Равенство в (5) достигается тогда и только тогда,
когда о, = а, для всех i и j. Доказательство неравенства (5) можно найти
в книге Slcyer С. W. Algebra and Its Applications. Addison-Wesley, 1970.
Приложение II
ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим уравнение вида
*п+1 =axn + b, (1)
где а и b - константы. Его называют разностным уравнением. Решением
такого уравнения является последовательность хо, Х\, х2, ..., хп, - --,
где хк+\ = = ахк + b при k = 0, 1,2,.... Мы приведем пример,
иллюстрирующий метод решения разностных уравнений, а затем покажем, что
этим методом можно решить любое такое уравнение.
Пример. Рассмотрим уравнение -^п+1 2х" -f- 3,
(2)
178
Приложение II
где xq = 4. Уравнение
¦*п+1 2хл = О,
Г _____ Оу W
ХП+] - zxn
называется однородньш уравнением, соответствующим разностному уравнению
(2). Положим в (3) х0 = А = const. Тогда
*1 = 2 А, х2 - 22А, хг = 23А
н в общем случае
хп = 2яА. (4)
Теперь положим 1(2) Хп - В при всех п. Получим ? = 2В + 3,
В = -3.
Таким образом,
*" = -3 (5)
представляет собой частное решение уравнения (2). Общее решение
разностного уравнения (2) теперь получается в результате сложения решений
(4) и (5):
хп = 2пА-3. (6)
В нашем примере дг0 = 4. Подставляя л=0 в (6), получаем
4 = Л - 3,
А = 7.
Таким образом, при Хо - 4 решение уравнения (2) имеет вид
*я = (2")7-3. (7)
Менее формально, решением уравнения (2) является последовательность
4, 11, 25, 53, 109.......
Приложение II
17"
Теперь покажем, что этим методом можно пользоваться и в общем случае.
Рассмотрим разностное уравнение
xn+i &хп -f- Ьt (8)
где Хо задано. Заметим, что если а = 1, то решением этого уравнения будет
обычная арифметическая прогрессия
Хо, х0 + b, хо + 2b, Хо + 3ft.
У
Иными словами,
х" = х0 + {п- 1)Ь.
Теперь предположим, что в (8) а Ф1. Для уравнения
хп+1 = ахл + Ь (9)
запишем соответствующее ему однородное уравнение *л+1=я*". (Ю)
Предположим, что в (10) х0 = А = const. Тогда
х, - аА, х2 = с? А, х3 = а? А
и в общем случае
хп - с? А. (11)
Теперь положим в (9) х" = В для всех п. Получим
В = аВ + Ь,
В=±1-а
(напомним, что а =^= I). Другими словами,
*п=Т^Г <12>
представляет собой частное решение уравнения (9).
Общее решение уравнения (9) получается сложением решений (11) и (12):
хп=*апА-(13)
180
Приложение II
Поскольку мы предположили, что х0 задано, подставив в (13) п - 0, получим
л . Ь
хо=А + -[гг^>
л Ь
А = хо - ^ПТ-
*
Следовательно, (13) принимает внд
Хп=а" [*> - т=г] + т^г- <14)
Теперь покажем, что (14) действительно является решением уравнения (9)
прн данном дг0. Мы должны показать, что (14) удовлетворяет уравнению
*"+, = ах" + Ь. (15)
По формуле (14)
| 1 1 - а
=а(аП[х°-т^]) + т^Г'
в то время как
axn + b = a(an[x0-14^] + T^T) + b =
= а(ап[х0-т^-])+1^т+Ь^
= О(ап[д:0-т4г]) + 14г.
Следовательно, выражение (14) удовлетворяет условию хп+] = ах" + Ь.
Мы рекомендуем читателю освоить эту технику, но не пытаться запомнить
формулу (14).
Пример. Рассмотрим разностное уравнение
*я+1 = 0.2*" + 0.7, (16)
x"+i=an+l лг0 - -у--
Приложение II
181
где лго = 3. Соответствующее однородное уравнение имеет вид
хп+1 = 0.2хп.
Если х0 = А = const, то
*1 =0.2 А, хя = (0.2)яА,
*з - (0-2)3 А
и в общем случае
*" = (0.2)" А (17)
Чтобы найти частное решение, положим в (16) хп = В для всех п. Получим
В = 0.2В + 0.7,
В = 7/8.
Иными словами, частным решением уравнения (16) является
хп = 7/8. (18)
Суммируя (17) и (18), получаем общее решение
уравнения (16):
хп = ф.2)пА + ^. (19)
Зная, что x0 = 3, и полагая в (19) п = 0, полу-
чаем
3 = Л + |.
А=^~
А 8 .
Следовательно, решение уравнения (16) прн Хо - 3 имеет внд
л Р71 , 7
182
Приложение II
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 .. 41 >> Следующая