Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Математические фантазии - Слойер С.

Слойер С. Математические фантазии — М.: Мир, 1993. — 184 c.
ISBN 5-03-002367-4
Скачать (прямая ссылка): matematfantazii1993.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 41 >> Следующая

как все стопки перевернуты вверх "рубашками" и расположены произвольным
образом, а потом все стопки, кроме трех, собраны вместе, все собранные
карты передаются фокуснику и он тасует их вместе с теми, что у него в
руках.
Секрет фокуса заключается в том, что, когда зритель открывает верхние
карты двух из трех оставшихся на столе стопок, фокусник складывает их
числовые значения и прибавляет к ним 10. Затем он вычитает полученное
число из числа карт, которые он держит в руках. Разность и будет равна
числовому значению верхней карты в третьей стопке.
Зритель может подумать, что это фокус на запоминание, однако теперь мы
знаем, что дело обстоит иначе.
Почему фокус получается? Если первая карта в стопке (после
переворачивания стопки она становится верхней), например, восьмерка, то
до 13 надо до-
^^скровм карты
i5
бавить еще 5 карт. Такая стопка содержит 6, или [13 -(8- 1)1" карт.
Аналогично, если верхняя карта в стопке - десятка, то в этой стопке 4,
или [13 -(Ю - I)], карты. Вообще, если верхняя карта в стопке имеет
числовое значение х, то в стопке [13 - (JC- 1>] карт.
Следовательно, если а, b и с - числовые значения верхних карт в
оставшихся трех стопках, то обшее число карт в этих трех стопках будет
равно
или (42 - а - b - с) карт, а общее число карт в руках у фокусника
окажется равным
Далее, если а и Ъ - числовые значения двух открытых верхних карт, то
фокусник вычитает из общего числа карт у него в руке величину 10 + a -f-
Ь и получает с - числовое значение верхней карты в последней стопке.
[13 -(а- 1)+ 13-(ft - 1)+ 13-(с- 1)],
[52 - (42 - о - Ъ - с)] =10 + о + !? +с-
46
Фантазия 11
Фантазия II
РЫБАЦКАЯ ИСТОРИЯ
Математика: элементарная алгебра и теория вероятностей
Рассмотрим задачу оценки количества рыбы в некоем озере. Вот один
возможный способ: выбрать наудачу место в озере и, забросив сеть,
вытащить улов. Предположим, поймано 200 рыб. Этих рыб помечают и
выпускают обратно. Через неделю эту операцию повторяют. На сей раз
поймано 100 рыб и 40 из них помечены. Это наводит на мысль, что 40/100,
или 0.4, всей рыбы в озере помечено. Если обозначить через F общее
количество рыбы, то
0.4 F = 200,
Р=
0.4 '
F - 500.
Мы можем обобщить эти рассуждения следующим образом:
Пусть
число рыб в первом улове (эти рыбы были помечены);
М2 = число рыб во втором улове;
Т - число помеченных рыб во втором улове;
F = общее число рыб в озере.
Эти результаты позволяют предположить, что
(1)
Результат (1) называется базовой оценкой.
Пример 1. Предположим, что
60 = число рыб в первом улове,
80 = число рыб во втором улове,
10 = число помеченных рыб во втором улове.
'^|МГ- история
47
Тогда базовая оценка находится по формуле
60-80
10
480
Теперь рассмотрим эту оценку с другой точки ярения. Предположим, что мы
проделываем все то же самое с маленьким прудом, в котором плавают Яслотые
рыбки. Пусть
ЛГ. = 3,
W2=3,
Т = 1.
Очевидно, что в пруду плавает по крайней мере S золотых рыбок. Наша
базовая оценка в этом случае дает
F = ^- = 9.
Теперь посмотрим, какова вероятность получить при втором улове именно
такой результат, если в пруду действительно 5 рыбок:
ПП
Р (результат 15) = -1 5 2- = 0.3.
V з J
Найдем также вероятность получить при втором улове этот результат, если в
пруду плавает 6 рыбок:
ПП
Р (результат 16) = -1 ^- = 0.45.
С)
Пожалуй, можно сказать, что в данном случае более вероятно", что в пруду
плавает 6, а не 5 рыбок.
Теперь упростим обозначения: обозначим ерез Р{п)
вероятность того, что при втором улове мы Получим данный результат, если
в пруду и рыб-
Р (л) = Р (результат п).
48
Фантазия 11
Составим такую таблицу:
п Р(п)
5 0.30
6 0.450
7 0.51429
8 0.53571
9 0.53571
10 0.5250
11 0.38182
(Проверьте хотя бы одно значение Р(п) для п, отличного от 5 и 6.)
Из этой таблицы можно заключить, что "наиболее вероятное" число рыб в
пруду-8 или 9. Однако, прежде чем сделать вывод, надо ответить на один
вопрос: возможно ли, что если продолжить таблицу, то, начиная с
некоторого значения, вероятности снова начнут возрастать? Чтобы ответить
на этот вопрос, рассмотрим отношение
Р(К)
Р1К+ 1) '
Заметим, что вероятности в таблице будут возрастать, если
и убывать, если
В нашем случае
и
Р(К
'Р(К) Р(К + 1)
< 1,
Р(К)
Р(К+1)
> 1. -
+ 1) =
ОКУ)
(!)
ОКУ'-3) ОГ)
|ы6ацкяя истоРия
49
Следовательно,
Р (К)
Р(К+ 1)
a)(V)
(К + 1)1 (К - 3)1
3! (К - 2)! ' 21 (К - 5)1 К1 (К - 2)1
3!(/С - 3)! 2! (/С - 4)!
(К + 1)! (К - 3)1 (К - 3)1 (К - 4)1 К1 (К- 2)! (УС - 2)! (/С - 5)1
{К+\)(К-Л)
(К -2) (К- 2)
/С2 - 3/С - 4 К2 - 4/с + 4 •
Другими словами, после значения 8 вероятности в таблице будут убывать.
Таким образом, мы можем сказать, что "наиболее вероятное" число рыб в
пруду равно 8 или 9. Эта оценка называется оценкой максимального
правдоподобия. Вспомним, что нашей базовой оценкой было число 9.
Задача. Предположим, что N\ = 3, N 2 = 4 и 7 = 2. Какова базовая оценка
числа рыб в пруду?
Неравенство
К2 - Ш - 4 ^ К2-АК +А >
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 41 >> Следующая