Ìåòîäû òåîðèè ñèñòåì â çàäà÷å íåïðåðûâíîé ëèíåéíîé ôèëüòðàöèè - Ñîëîäîâ À.Â.
Ñêà÷àòü (ïðÿìàÿ ññûëêà):
ÂÕßÊÍ Å, ÎÏÅÄÅÊ ÏÞßßËÞÐÏÕÁÞÅËÍÈ ÎÍßÊÅÄÍÁÞÐÅÊÝÌÍßÐÕ.
ëÅÐÏÕÂÅßÉÍÅ ÎÏÍßÐÏÞÌßÐÁÍ X ÌÞÃØÁÞÅÐßÚ ÎÍÊÌØË, ÅßÊÕ Ê×ÀÞÚ
ÎÍßÊÅÄÍÁÞÐÅÊÝÌÍßÐÝ {ÔÎ}ÿ1 X ßÓÍÄÕÐßÚ É ÌÅÉÍÐÍÏÍËÑ ÎÏÅÄÅÊÑ Ó,
ÎÏÕÌÞÄÊÅÔÞÛÅËÑ X.
íÐÍÀÏÞÔÅÌÕÚ. íÄÌÕË Õà ÍßÌÍÁÌØÓ ÎÍÌÚÐÕÈ ËÞÐÅËÞÐÕÂÅßÉÍÖÍ ÞÌÞÊÕÃÞ ÚÁÊÚÅÐßÚ
ÎÍÌÚÐÕÅ ÒÑÌÉÆÕÕ. òÑÌÉÆÕÅÈ ÌÞÃØÁÞÅÐßÚ ßÍÍÐÁÅÐßÐÁÕÅ (ÌÅ ÍÀÚÃÞÐÅÊÝÌÍ
ÍÄÌÍÃÌÞÂÌÍÅ) ËÅÔÄÑ ËÌÍÔÅßÐÁÞËÕ ÂÕßÅÊ.
á ÒÑÌÉÆÕÍÌÞÊÝÌÍË ÞÌÞÊÕÃÅ ÎÍÌÚÐÕÅ ÒÑÌÉÆÕÕ ÌÍßÕÐ ÀÍÊÅÅ ÍÀÛÕÈ ÓÞÏÞÉÐÅÏ.
ïÞßßËÍÐÏÕË ÙÊÅËÅÌÐØ ËÌÍÔÅßÐÁÞ X, ÎÏÕÌÞÄÊÅÔÞÛÕÅ ÎÍÄËÌÍÔÅßÐÁÑ óÞ, Õ
ÙÊÅËÅÌÐØ ËÌÍÔÅßÐÁÞ ñ, ÎÏÕÌÞÄÊÅÔÞÛÕÅ ÎÍÄËÌÍÔÅßÐÁÑ Yb (ÏÕß. 1.9):
xa<zx, iex";
îßö, ÑÅñ,
30 íÿìíáìøå íîïåäåêåìõú íàûåè ðåíïõõ ÿõÿðåë [öê. 1
åßÊÕ ËØ ÑßÐÞÌÍÁÕË ÌÅÉÍÐÍÏÍÅ ßÍÍÐÁÅÐßÐÁÕÅ ËÅÔÄÑ ÙÊÅËÅÌÐÞËÕ ËÌÍÔÅßÐÁ óÞ Õ
ñÝ Á ÁÕÄÅ ÎÏÞÁÕÊÞ /, ÐÍ ÐÅË ßÞËØË ËØ Õ ÍÎÏÅÄÅÊÕË ÒÑÌÉÆÕ× Ñ = / (Ô).
îÍÊÌÍÅ ÍÎÏÅÄÅÊÅÌÕÅ ÑÎÍËÚÌÑÐÍÖÍ ßÍÍÐÁÅÐßÐÁÕÚ ÒÍÏËÑÊÕÏÑÅÐßÚ ßÊÅÄÑ×ÛÕË
ÍÀÏÞÃÍË.
ÿÍÍÐÁÅÐßÐÁÕÅ /, ßÁÚÃØÁÞ×ÛÅÅ ß ÉÞÔÄØË ÙÊÅËÅÌÐÍË Ó ÌÅÎÑßÐÍÖÍ ËÌÍÔÅßÐÁÞ X
ÌÅÉÍÐÍÏØÈ ÙÊÅËÅÌÐ Ñ ÌÅÎÑßÐÍÖÍ ËÎÍÔÅßÐÁÞ ñ, ÌÞÃØÁÞÅÐßÚ ÒÑÌÉÆÕÅÈ ÕÊÕ
ÍÐÍÀÏÞÔÅÌÕÅË
X
ïÕß. 1.10.
X Á ñ. îÍÄËÌÍÔÅßÐÁÍ óÞ, ÌÞ ÉÍÐÍÏÍË ÃÐÍ ÍÐÍÀÏÞÔÅÌÕÅ ÍÎÏÅÄÅÊÅÌÍ, ÌÞÃØÁÞÅÐßÚ
ÍÀÊÞßÐÝ× ÍÎÏÅÄÅÊÅÌÕÚ ÒÑÌÉÆÕÕ, Þ ÎÍÄËÌÍÔÅßÐÁÍ ñÝ - ÍÀÊÞßÐÝ× ÃÌÞÂÅÌÕÈ ÙÐÍÈ
ÒÑÌÉÆÕÕ.
ÿÕËÁÍÊÕÂÅßÉÕ ÍÐÍÀÏÞÔÅÌÕÅ X Á ñ ÃÞÎÕßØÁÞÅÐßÚ ßÊÅÄÑ×ÛÕË ÍÀÏÞÃÍË:
/: ó->ñ (1.26)
Õ ÂÕÐÞÅÐßÚ ÐÞÉ: ÌÞ ËÌÍÔÅßÐÁÞÓ X Õ ñ ÃÞÄÞÌÍ ßÍÍÐÁÅÐßÐÁÕÅ /, ÐÞÉÍÅ, ÂÐÍ
ËÌÍÔÅßÐÁÍ X ÍÐÍÀÏÞÔÞÅÐßÚ Á ñ. á ÀÍÊÅÅ ÉÍÌÉÏÅÐÌØÓ ßÊÑÂÞÚÓ ÎÏÕËÅÌÚÅÐßÚ
ÕÃÁÅßÐÌÞÚ ÃÞÎÕßÝ Á ÁÕÄÅ
ñ = / (Ú)-
îÑßÐÝ ÐÅÎÅÏÝ ÃÞÄÞÌÍ ÍÐÍÀÏÞÔÅÌÕÅ X Á ñ ß ÎÍËÍÛÝ× ßÍÍÐÁÅÐßÐÁÕÚ / (1.26).
ðÍÖÄÞ ÎÍÄËÌÍÔÅßÐÁÍ F ËÎÍÔÅßÐÁÞ X X ñ
F = {(", Ñ): Ñ = / (Ó), ÊTó") (1.27)
ÌÞÃØÁÞÅÐßÚ ÖÏÞÒÕÉÍË. ìÞ ÏÕß. 1.10 ÎÍÉÞÃÞÌÞ ÖÏÞÒÕÂÅßÉÞÚ ÕÊÊ×ßÐÏÞÆÕÚ ÙÐÍÖÍ
ÍÎÏÅÄÅÊÅÌÕÚ. ãÄÅßÝ ËÌÍÔÅßÐÁÞ X Õ ñ
5 21 ëìíôåÿðáþ, îïíÿðïþìÿðáþ õ íðíàïþôåìõú
31
ÚÁÊÚ×ÐßÚ ÂÕßÊÍÁØËÕ ÍßÚËÕ, Þ ÕÓ ÎÏÍÕÃÁÅÄÅÌÕÅ ó\Ó Y ÅßÐÝ ËÌÍÔÅßÐÁÍ ÐÍÂÅÉ ÌÞ
ÎÊÍßÉÍßÐÕ. ÿÍÍÐÁÅÐßÐÁÑ×ÛÕÅ ÎÍÄËÌÍÔÅßÐÁÞ óÞ Õ Yb ÍÎÏÅÄÅÊÚ×Ð ÎÍÄËÌÍÔÅßÐÁÍ F
ÎÏÕ ÑßÊÍÁÕÕ ÁØÎÍÊÌÅÌÕÚ ßÍÍÐÌÍÜÅÌÕÚ (1.27). äÏÑÖÕËÕ ßÊÍÁÞËÕ, Õà ÁßÅÖÍ
ËÌÍÔÅßÐÁÞ ÐÍÂÅÉ óÎ X Yb ÖÏÞÒÕÉ F ÍÎÏÅÄÅÊÚ×Ð ÐÍÊÝÉÍ ÁÎÍÊÌÅ ÍÎÏÅÄÅÊÅÌÌØÅ
ÎÞÏØ (Ó, Ñ), ÎÏÕÂÅË ÐÞÉÕÅ, ÂÐÍ ÎÏÕ ÄÞÌÌÍË ÉÍÌÉÏÅÐÌÍË ÃÌÞÂÅÌÕÕ igX,,
ÃÌÞÂÅÌÕÅ Ñ ÍÎÏÅÄÅÊÚÅÐßÚ Õà ÃÞÁÕßÕËÍßÐÕ Ñ = / (Ó).
áÞÔÌÍ ÍÐËÅÐÕÐÝ, ÂÐÍ ÎÍÄËÌÍÔÅßÐÁÍ F ËÍÔÅÐ % ßÊÑÔÕÐÝ ÖÏÞÒÕÉÍË ÒÑÌÉÆÕÕ /: X
-Ñ Y ÐÍÊÝÉÍ Á ÐÍË ßÊÑÂÞÅ, ÉÍÖÄÞ ÄÊÚ ÉÞÔÄÍÖÍ ÉÍÌÉÏÅÐÌÍÖÍ ÃÌÞÂÅÌÕÚ Ó åå óÞ
Á ÎÍÄËÌÍÔÅßÐÁÅ F ÀÑÄÅÐ ÐÍÊÝÉÍ ÍÄÕÌ ÙÊÅËÅÌÐ (Ó, Ñ).
á ÖÅÍËÅÐÏÕÂÅßÉÍÈ ÕÌÐÅÏÎÏÅÐÞÆÕÕ ÎÍÄËÌÍÔÅßÐÁÍ F ËÍÔÅÐ ßÊÑÔÕÐÝ ÖÏÞÒÕÉÍË
ÒÑÌÉÆÕÕ /: ó^-ñ ÊÕÜÝ ÐÍÖÄÞ, ÉÍÖÄÞ ÄÊÚ ÉÞÔÄÍÖÍ ÙÊÅËÅÌÐÞ Ó ÿå óÞ
"ÁÅÏÐÕÉÞÊÝÌÞÚ"*) ÎÏÚËÞÚ, ÎÏÍÓÍÄÚÛÞÚ ÂÅÏÅà Ó, ÎÅÏÅßÅÉÞÅÐ F Á ÍÄÌÍÈ ÐÍÂÉÅ
(ÏÕß. 1.11).
íÐÍÀÏÞÔÅÌÕÅ (ÒÑÌÉÆÕÚ) /: X -> Y ÌÞÃØÁÞÅÐßÚ ÁÃÞÕËÌÍ ÍÄÌÍÃÌÞÂÌØË, ÅßÊÕ ÕÃ
ÏÞÁÅÌßÐÁÞ / (ÓÖ) = / (Ó2) ßÊÅÄÑÅÐ ÏÞÁÅÌßÐÁÍ ÓÓ = Ó2 ÄÊÚ ÁßÅÓ Ó ?å óÞ.
îÍßÉÍÊÝÉÑ ÄÊÚ ÁÃÞÕËÌÍ ÍÄÌÍÃÌÞÂÌÍÈ ÒÑÌÉÆÕÕ ÄÊÚ ÉÞÔÄÍÖÍ ÃÌÞÂÅÌÕÚ Ñ ÕÃ
ÎÍÄËÌÍÔÅßÐÁÞ Yh ßÑÛÅßÐÁÑÅÐ ÊÕÜÝ ÍÄÌÍ ÃÌÞÂÅÌÕÅ Ó Õà ÎÍÄËÌÍÔÅßÐÁÞ óÞ, ËÍÔÌÍ
ÎÍßÐÞÁÕÐÝ ÃÞÄÞÂÑ ÍÐØßÉÞÌÕÚ ÍÀÏÞÐÌÍÖÍ ÍÐÍÀÏÞÔÅÌÕÚ ÁÕÄÞ
*: Y-+X,
Ð. Å. ÍÐÍÀÏÞÔÅÌÕÚ,! ßÁÚÃØÁÞ×ÛÅÖÍ ÉÞÔÄØÈ ÙÊÅËÅÌÐ Ñ ß ÙÊÅËÅÌÐÍË Ó.
îÑßÐÝ ÃÞÄÞÌÍ ÁÃÞÕËÌÍ ÍÄÌÍÃÌÞÂÌÍÅ ÍÐÍÀÏÞÔÅÌÕÅ /: X Y ß ÍÀÊÞßÐÝ×
ÍÎÏÅÄÅÊÅÌÕÚ óÞ ÿ X Õ ÍÀÊÞßÐÝ× ÃÌÞÂÅÌÕÈ Yb = Y. åßÊÕ ÄÊÚ ÍÐÍÀÏÞÔÅÌÕÚ g:
Y X
*) ÿÊÍÁÍ "ÁÅÏÐÕÉÞÊÝÌÞÚ" ÁÃÚÐÍ Á ÉÞÁØÂÉÕ ÎÍ ÐÍÈ ÎÏÕÂÕÌÅ, ÂÐÍ ÙÐÍ
ÌÞÕËÅÌÍÁÞÌÕÅ ÎÏÚËÍÈ ÑßÊÍÁÌÍ.
32 íÿìíáìøå íîïåäåêåìõú íàûåè ðåíïõõ ÿõÿðåë [öê. 1
ÌÞ ËÌÍÔÅßÐÁÅ Y X X ßÎÏÞÁÅÄÊÕÁ ÖÏÞÒÕÉ
G = {(Ñ, Ö)åñÓó: (Ô, Ñ) Å óÞ},
ÐÍ ÙÐÍ ÍÐÍÀÏÞÔÅÌÕÅ ÁÃÞÕËÌÍ ÍÄÌÍÃÌÞÂÌÍ ß ÍÀÊÞßÐÝ× ÍÎÏÅÄÅÊÅÌÕÚ Y Õ ÍÀÊÞßÐÝ×
ÃÌÞÂÅÌÕÈ óÞ. íÐÍÀÏÞÔÅÌÕÅ g ÌÞÃØÁÞÅÐßÚ ÍÀÏÞÐÌØË Õ ÍÀÍÃÌÞÂÞÅÐßÚ ÂÅÏÅà jö1,
ÐÞÉ ÂÐÍ
f1 : ñ -+³ X. (1.28)
äÊÚ ÕÊÊ×ßÐÏÞÆÕÕ ÁÁÅÄÅÌÌØÓ ÎÍÌÚÐÕÈ ÏÞßßËÍÐÏÕË ÎÏÕËÅÏ.
óÁ Y
Þ) 6)
ïÕß. 4.12.
ãÞÄÞÌØ ËÌÍÔÅßÐÁÞ X = {Ô: -2 ^ Ô 2} Õ ñ = R, ÖÄÅ R - ÂÕßÊÍÁÞÚ ÍßÝ
ÁÅÛÅßÐÁÅÌÌØÓ ÂÕßÅÊ. ïÞßßËÍÐÏÕË ÍÐÍÀÏÞÔÅÌÕÅ, ÃÞÄÞÁÞÅËÍÅ ÒÑÌÉÆÕÅÈ
ñ ~ f (Ó) - Ô2,
ß ÍÀÊÞßÐÝ× ÍÎÏÅÄÅÊÅÌÕÚ óÞ = {Ô: í Ó ^ 2}. íÂÅ-
ÁÕÄÌÍ, ÍÀÊÞßÐÝ× ÃÌÞÂÅÌÕÈ ÃÞÄÞÌÌÍÈ ÒÑÌÉÆÕÕ ÀÑÄÅÐ
Y = {Ñ : 0 < ñ < 4}
ß ÖÏÞÒÕÉÍË (ÏÕß. 1.12, Þ)
F = {(Ô, Ñ) : Ñ = Ô2, 0 < Ô < 2}.
ÿÊÅÄÍÁÞÐÅÊÝÌÍ, ÒÑÌÉÆÕÚ Ñ - Ô2 ß ÍÀÊÞßÐÝ× ÍÎÏÅÄÅÊÅÌÕÚ óÞ = (Ô : 0 Ô ^ 2 }
ÁÃÞÕËÌÍ ÍÄÌÍÃÌÞÂÌÞ Õ ÕËÅÅÐ ÍÀÏÞÐÌÑ× ÒÑÌÉÆÕ×
Ô = V ñ = ö1 (Ñ)
•1ìíôåÿðáþ, îïíÿðïþìÿðáþ õ íðíàïþôåìõú
33
ß ÍÀÊÞßÐÝ× ÍÎÏÅÄÅÊÅÌÕÚ ñ = {Ñ : 0<2/< 4} Õ ÍÀÊÞßÐÝ× ÃÌÞÂÅÌÕÈ óÞ = {Ó : 0
^ Ó ^ 2}. öÏÞÒÕÉ ÍÀÏÞÐÌÍÈ ÒÑÌÉÆÕÕ ÎÍÉÞÃÞÌ ÌÞ ÏÕß. 1.12, À.
åß.ÖÕ ÏÞßÜÕÏÕÐÝ ÍÀÊÞßÐÝ ÍÎÏÅÄÅÊÅÌÕÚ ÙÐÍÈ ÔÅ ÒÑÌÉÆÕÕ Ñ = ÓÖ ÌÞ ÁßT
ËÌÍÔÅßÐÁÍ X, ÐÍ ÍÌÞ ÌÅ ÀÑÄÅÐ ÁÃÞÕËÌÍ ÍÄÌÍÃÌÞÂÌÍÈ, ÐÞÉ ÉÞÉ ÌÅ
ÑÄÍÁÊÅÐÁÍÏÚÅÐ ÍÎÏÅÄÅÊÅÌÕ× ÁÃÞÕËÌÍÈ ÍÄÌÍÃÌÞÂÌÍßÐÕ: ÄÊÚ ÍÄÌÍÖÍ ÃÌÞÂÅÌÕÚ Ñ
Õà ñ ßÑÛÅßÐÁÑ×Ð ÄÞÞ ÃÌÞÂÅÌÕÚ Ó Õà X (ÏÕß. 1.12, Þ).
íÄÌÕË Õà ÁÞÔÌØÓ ÎÍÌÚÐÕÈ ÐÅÍÏÕÕ ÒÑÌÉÆÕÈ ÚÁÊÚÅÐßÚ ÎÍÌÚÐÕÅ ÌÅÎÏÅÏØÁÌÍßÐÕ.
á ÉÊÞßßÕÂÅßÉÍË ÞÌÞÊÕÃÅ ÒÑÌÉÆÕÚ / (Ó) ÌÞÃØÁÞÅÐßÚ ÌÅÎÏÅÏØÁÌÍÈ Á ÐÍÂÉÅ Ó =
Ó0, ÅßÊÕ, ÉÞÉÍÁÍ ÀØ ÌÕ ÀØÊÍ ÂÕßÊÍ Å 0 ÁßÅÖÄÞ ÌÞÈÄÅÐßÚ ÐÞÉÍÅ ÂÕßÊÍ 6 0,
ÂÐÍ ÀÑÄÑÐ ßÎÏÞ-
ÁÅÄÊÕ Ø ÌÅÏÞÁÅÌßÐÁÞ:
ÄÊÕ | Ó - Ó0 [ < À, ÐÍ | / (Ó) - / (Ô0) | < Å. (1.29)
á ÐÅÏËÕÌÞÓ ÒÑÌÉÆÕÍÌÞÊÝÌÍÖÍ ÞÌÞÊÕÃÞ ÙÐÍ ÍÎÏÅÄÅÊÅÌÕÅ ËÍÔÌß ÃÞÎÕßÞÐÝ ÐÞÉ:
ÍÐÍÀÏÞÔÅÌÕÅ / : R -*³ R ÀÑÄÅÐ ÌÅÎÏÅÏØÁÌØË Á ÐÍÂÉÅ Ó0 åå R, ÅßÊÕ, ÉÞÉÍÁÍ