Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Задачи с изюминкой - Тригг Ч.

Тригг Ч. Задачи с изюминкой — М.: Мир, 1975. — 302 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachisizumenkoy1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 93 >> Следующая

1 Sandwich, cup, doughnut (англ.) — сандвич, чашка, пончик соответственно.
„ от размеров квадрата; нужно только, чтобы АВ ^ ^ ЖЯ/2.
122. Подставив х = у/12 в исходное уравнение, получим
(У — 1) (У — 2) (у — 3)(у — 4) = 120 = 2 • 3 • 4 • 5.
Любой целый корень этого уравнения превратит его ле вую часть в произведение четырех последовательных целых чисел, у = —1 и у = 6 — два таких корня.
Воспользуемся теперь известными соотношениями между корнями уравнения и его коэффициентами*:
(-1) (6) г,г2 = - 120 + (-1) (-2) (-3) (-4),
откуда
г,г2= 16;
— (— 1+6 + г,+г2)= — 1 — 2 — 3 — 4,
откуда
ri+r2— 5.
Таким образом, Г\ и г2 совпадают с корнями уравнения у2 — 5у+16 = 0, то есть равны (5 ± г д/39)/2.
Итак, четыре корня исходного уравнения равны соответственно —V12, '/г и(5 ± i -\/39)/24.
123. Нам нужно найти трехзначное и однозначное
числа, произведение которых представляет собой четырехзначное число, причем разрешается пользоваться только цифрами 2, 3, 5 или 7. Существует всего четыре возможных варианта: 3-775 = 2325, 5-555 = 2775,
5-755 = 3775 и 7-325 = 2275.
Поскольку в этих четырех произведениях ни одно из трехзначных чисел не встречается дважды, мы заключаем, что искомое двузначное число состоит из одинаковых цифр. Таким образом, единственное решение имеет вид
775 33 2 325
2 325 25 575
[У. Е. Бакер, А М. М., 43, 499 (October 1936).]
124. Поместим в какую-нибудь точку число Ь, а в тов ку, расположенную на противоположном конце соотвев ствующего диаметра, — «дополнительное» число, равное п(п—1) + 1 — Ь. Продолжим этот процесс до тех пор пока не исчерпаем всех чисел (и точек). Поскольку
/
на каждом большом круге находится п—1 пара точек пересечения, общая сумма всех чисел на нем равна [п(п— 1)+ 1](я— 1).
[Л. Мозер, М. М., 25, 114 (November 1951).]
125. Если первоначальное число участников увеличивается на 50%, то на долю каждого приходится всего по 2/з прежнего индивидуального взноса. Таким образом, 100 долларов составляют */з исходного взноса и каждый член клуба заплатил по 300 долларов.
[М. М., 32, 229 (March 1959).]
126. Для того чтобы условие задачи было выполнено при у — 3, при некоторых п и k должны иметь место равенства 2C? = Cn+1 и ЗСл = Сл+2. После упрощения получаем п = 3k -f 2 и 3(k -f- 1) (k + 2) = (n — k)(n
— k — 1). Решив данную систему уравнений и отбросив отрицательное решение, получим k = 4, п = 14.
Таким образом, степень соответствующего бинома равна 14, а пятый, шестой и седьмой коэффициенты равны соответственно 1001, 2002, 3003. Поскольку для у = 3 решение единственно, при у > 3 решений нет,
127. Произведение п последовательных целых чисел делится на п. Боле? того, произведение четырех последовательных целых чисел делится на 23. Далее,
д? = х9 — 6х7 -j- 9л:5 — 4л5 =
= [(* — ?)(х— 1)х][(х— 1)х(х + 1)] [л: (л: + 1)(х+2)] =
= [(* — 2)(х— 1)х(х-|- 1) (я + 2)] [(х— 1) я] [х(х+ 1)] =
= [(а — 2)(х— 1)х(х + 1)] [(х — 1)х(х-|- 1)(х + 2)]х.
Величина, стоящая в каждой квадратной скобке первого разложения, делится на 3; значит, N делится на З3. Из второго разложения видно, что N делится ка 5. Каждая квадратная скобка третьего разложения делится на 23; следовательно, N делится на 26. Таким образом, при любом целом х величина N делится на 2е-З3-5 — 8640.
128. Если сторона данного квадрата равна 2, то площадь всего пятиугольника равна 5; поэтому катет нового равнобедренного прямоугольного треугольника должен равняться У10. Но именно такова длина каждой из двух больших диагоналей нашего пятиугольника. Таким образом, если мы разрежем пятиугольник вдоль одной из
этих диагоналей, то две стороны разреза можно использовать в качестве катетов нового прямоугольного треугольника. Далее заметим, что вершины неразрезанных Углов пятиугольника окажутся внутри нового треугольника, а стороны, выходящие из этих вершин, в нем попарно совпадут. Отсюда мы делаем вывод, что новый Разрез должен начинаться из любого конца большой диа-
гонали и делить пополам сторону пятиугольника, не имеющую общих точек с этой диагональю. В результате мы получаем два различных решения, не считая зеркальных отражений.
Обратим внимание еще на одну любопытную деталь. Если мы разрежем наш пятиугольник любым из двух указанных способов и, не сдвигая с места, закрепим их шарнирно в любых двух (из трех) концах проведенных разрезов, то мы сможем затем сложить нужный треугольник, просто поворачивая части вокруг этих шарниров.
[У. Ф. Чин и.]
129*. Пусть N = 3,/-3,'-3V. .=3,/.+,/.+Ъ+-+ч/з"+ ...= = З'и. Тогда
М___ 1.2.3. .я—1. ,
~~3~ 1Р~ "З^" "З*" 3й г- ••• ¦
Поэтому
0-4>= I
_i
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 93 >> Следующая