Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Задачи с изюминкой - Тригг Ч.

Тригг Ч. Задачи с изюминкой — М.: Мир, 1975. — 302 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachisizumenkoy1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 93 >> Следующая

149. Пусть п = abc, а N — искомое произведение. Если бы с — 1, то наибольшее возможное п, а именно 981, дало бы произведение N = 159080922, которое слишком мало. Следовательно, 982 ^ п =<: 987. Сумма цифр числа N равна 35 = 2 (mod 3); поэтому п и числа, получающиеся из п перестановкой цифр, дают остаток 2 при делении на 3. Значит, п равно либо 986, либо 983. Но 6 в разряде единиц получится у произведения только в случае п — 983. Отсюда следует, что правильно набранная строка должна принять вид
(983) (839) (398) = 328 245 326.
[У. Р, Тальбот, А. М. М., 66, 726 (October 1959).]
150. Результат должен делиться как на 7, так и на 11; следовательно, искомое число равно 7 + 11 = 18*. В общем случае число k -f- т будет решением уравнения (х — k)k = (х — т)т.
[М. М., 33, 58 (September 1959).]
151. Мы здесь предполагаем, что знакомство дв^х люден взаимно, то есть если некий человек знаком с другим человеком, то и второй знаком с первым. Отождествив каждого из 6 человек с некоторой вершиной октаэдра, мы сведем задачу к эквивалентной задаче: если
каждое ребро и каждая диагональ октаэдра окрашены произвольным образом в зеленый или красный цвет, то нужно доказать, что в некотором треугольнике1 все стороны окрашены в один и тот же цвет.
Каждая вершина соединена ребром или диагональю с любой другой вершиной. Из пяти отрезков, соединяющих данную вершину с остальными, по крайней мере три должны быть окрашены в одинаковый цвет. Взяв эти три отрезка, мы увидим, что возможны два случая.
1. У двух таких отрезков концы соединены отрезк м того же цвета. В этом случае два данных отрезка и отрезок, соединяющий их концы, образуют нужный треугольник.
2. Любые два из трех наших отрезков соединены отрезком противоположного цвета. Тогда искомый треугольник образуют три отрезка, соединяющих концы наших трех отрезков.
1 Имеются в виду только треугольники, вершины которых совпадают с вершинами октаэдра; а кстати, сколько их всего? — Прим. ред.*
152. Умножив числитель и знаменатель нашей дроби на 23/г, получим
(в + 2 У15)а/* + (5 - 2 VT5 + 3)8/«
(12 + 2 V35)7* - (7 - 2 V35 + 5)3/> =
_ (У5+Уз)3Ч-(У5-УЗ)3 ^ 2(5У5~+9л/5) 7
(У7 + У5)3_ (д/7-У5)3 2(21 Уб + 5Уб) ~ 13 ’
[S.S.M., 55, 567 (October 1955).]
153. Пусть TV = pqr. Тогда р2 + q2 +' г2 = 2331; значит, каждое из этих простых чисел меньше (2331)1/2 < 49, а все простые числа нечетны*.
Сумма всех делителей числа N равна (1"4-"р)-(1 + + q) ¦ (1 -j- г) = 10560 = 11 -960. Единственное кратное 11, не превосходящее 49 и на 1 большее некоторого простого числа, равно 44, так что г = 43. Поэтому р2 + + <72 = 482 и каждое из этих двух чисел меньше (482),/з < 22. Далее заметим, что квадрат нечетного числа может оканчиваться лишь на 1,5 или 9, так что и р2 и q2 оканчиваются на 1. Следовательно, р = 11, q — 19 и N = 11 -19-43 = 8987*.
154. Пусть а/b — рациональное число. Тогда его можно представить как сумму а повторяющихся членов гармонического ряда
?____L _L _L _i_ _i_±
Ь~ 6 + 6 + ••• +
Оставим первое слагаемое неизменным, а остальные (а— 1) слагаемых преобразуем с помощью тождества
1 1 , *
п п + 1 п(п + 1) *
Далее еще раз применим к повторяющимся слагаемым данное тождество и будем продолжать этот процесс до тех пор, пока все члены суммы не станут различными*.
[Г,С. Чаннингхэм, А. М. М., 69, 435 (May 1962).]
Например: 3h — l/j + lh + = xh + */в + Vs6 _-h, Ve ~b
-+ Vs6 = ‘/7 +. Ve + ’/56 + h + V72 4~ V57 + V3192.
155. Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Если из какой-ни-
будь внутренней точки треугольника опустить перпендикуляры на стороны, то суммы квадратов длин перемежающихся отрезков, на которые основания данных перпендикуляров разбивают стороны треугольника, будут равны между собой*. Допустим теперь, что все три перпендикуляра, восставленные из точек пересечения биссектрис со сторонами треугольника а, Ь, с, пересекаются в одной точке; тогда
Объединяя члены с одинаковыми знаменателями, получим
а2(Ь — с) - Ъ2(с — а) . c2(a — b) п
F+~c ** с + а а + Ь ~~U*
откуда
(Ь — с) (с — а) (а — Ь) (а + Ъ + с)2 = 0.
Поскольку по крайней мере один из первых трех сомножителей равен нулю, наш треугольник равнобедренный.
[А. М. М., 46, 513 (October 1939).]
156. Если мы расположим наши числа в виде квадратной таблицы
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
то можно заметить, что каждая строка представляет собой арифметическую прогрессию с разностью, равной 1, г каждый столбец — арифметическую прогрессию с разностью, равной 4. Следовательно, сумма любой пары чисел, стоящей на главных диагоналях, совпадает с суммой по крайней мере одной из пар, расположенной вне этих диагоналей1. Поэтому искомые два класса — это
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 93 >> Следующая