Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Реклама

Приключения математика - Улам С.

Улам С. Приключения математика — НИЦ, 2001. — 272 c.
ISBN 5-93972-084-6
Скачать (прямая ссылка): priklucheniyamatematika2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 121 >> Следующая

К концу девятнадцатого века теория множеств совершила переворот в математике. Все началось с того, что Георг Кантор доказал (вернее открыл), что континуум не является счетным множеством. Он не единственный размышлял о логике бесконечности — были еще его предшественники Вейерштрасс и Больцано, однако первое тщательное изучение степеней бесконечности было проведено, конечно, им. Оно возникло из изучения им тригонометрических рядов и, вобрав в себя аромат математики, быстро приняло математическую форму. Дух этой теории в значительной степени проник в математику; недавно она получила новое и технически совершенно неожиданное, обновленное развитие как в самой абстрактной форме, так и в форме непосредственных приложений. Нужно заметить, что формулировки топологии, алгебраических идей в самой общей форме получили импульс и направление от деятельности польской школы, которая в значительной степени была представлена во Львове, где интересы сконцентрировались, грубо говоря, вокруг функционального анализа в геометрическом и математическом смысле.
Можно привести следующее чрезмерно упрощенное описание того, что послужило началом этой деятельности. Начатый Кантором и математиками французской школы — Борелем, Лебегом и другими — этот род исследований прижился в Польше. В своей книге «Блестящие иммигранты» («Illustruous Immigrants») Лаура Ферми восхищенно удивляется тому, сколь многие из работавших в США польских математиков проделали так много важной рабо-
ты для процветания этой области. Тех, кто приехал сюда, чтобы жить и продолжать эту работу, тоже было немало. Изучение анализа, одновременно проводимое Гильбертом и другими немецкими математиками, привело к появлению простой, общей математической структуры бесконечномерных функциональных пространств, которую впоследствии также развила польская школа. А независимая и одновременная работа Мура, Веблена и других ученых Америки сделала возможной встречу геометрических и алгебраических взглядов и объединение разных направлений математической деятельности, хотя, конечно, только в некоторой степени.
Такое чувство, что, несмотря на растущее разнообразие и даже «сверхспециализацию», выбор предметов для исследований в математике определяется широко распространенными общими течениями, линиями и тенденциями, идущими от независимых источников.
Несколько индивидуумов, располагающих несколькими определениями, могут разбудить целую лавину работы в специальных областях. Отчасти это обусловлено модой и стремлением увековечить себя исключительно под влиянием учителей. Когда я впервые приехал в эту страну, то поразился показавшейся мне чрезмерной сосредоточенности на топологии. Теперь мне кажется, что, возможно, слишком большая работа идет в области алгебраической геометрии.
Второй вехой стала работа Геделя, которую в недавнем времени сделали более специфичной результаты Пола Коэна. Гедель, математический логик из Принстонского института перспективных исследований, установил, что любая конечная система аксиом или даже счетно бесконечная их система в математике позволяет сформулировать внутри этой системы имеющие смысл утверждения, которые являются неразрешимыми — то есть внутри системы нельзя ни доказать, ни опровергнуть их истинность. Коэн открыл целый класс новых аксиом бесконечности. Сегодня существует масса результатов, свидетельствующих о том, что наша интуиция, благодаря которой мы понимаем бесконечность, не обладает полнотой. Они позволяют раскрыть таинственные области нашей интуиции для понимания разных концепций бесконечности. Это, в свою очередь, оказывает косвенное влияние на изменение философии математического фундамента, показывая, что математика — это вовсе не законченный предмет, основанный на неизменных, уникальным образом подобранных законах, как было принято считать раньше, а генетически развивающаяся наука. Эту точку зрения еще не приняли сознательно, а ведь она указывает путь к иным перспективам. Математики изучают бесконечность воистину плодотворно, так что можно ли знать, как изменится наше отношение к этому понятию за следующие пятьдесят лет?
Конечно, что-то появится — если не аксиомы в настоящем смысле этого слова, то правила или договоренности между математиками, которые допустят новые постулаты или, назовем их лучше, формулированными пожеланиями, выражающими абсолютную свободу мысли, свободу конструкции, когда есть неразрешимые утверждения в предпочтение верным или ложным допущениям. Некоторые утверждения могут в самом деле быть неразрешимо неразрешенными. Это должно представлять огромный философский интерес.
Интерес к фундаментальным основам математики в какой-то степени философский, однако в конечном итоге он распространяется на всю математику, как и теория множеств. Однако если выражение «фундаментальные основы» — термин неудачный, в настоящее время это всего лишь еще один математический предмет, но, безусловно, фундаментальный.
Огромная дихотомия в происхождении и вдохновении математической мысли — которую стимулируют с одной стороны влияние внешней реальности, материального мира, а с другой стороны воздействие развивающегося процесса психологии, очень вероятно, что человеческого мозга — имеет небольшой и особый гомомор-фический образ в настоящем и будущем применении электронных компьютеров.
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 121 >> Следующая