Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Тени разума: в поисках науки о сознании - Пенроуз Р.

Пенроуз Р. Тени разума: в поисках науки о сознании — Москва, 2005. — 688 c.
ISBN 0-19-510646-6
Скачать (прямая ссылка): vpoiskahnaukiosoznanii2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 286 >> Следующая

задней стенки, боковой стенки и потолка, как показано на рис. 2.2.
120
Глава 2
Рис. 2.2. Разберем куб на части - каждая со своей задней стенкой, боковой
стенкой и потолком.
Посмотрим теперь на одну из наших трехгранных конфигураций со стороны, т.
е. вдоль прямой, соединяющей начальную точку построения и точку, общую
для всех трех граней. Мы уви-
2.4. Как убедиться в незавершаемости вычислений? 121
дим шестиугольник, подобный тому, что изображен на рис. 2.3. Точки, из
которых складываются эти увеличивающиеся в размере шестиугольники,
представляют собой, в сущности, те же точки, что образуют полный куб. То
есть получается, что последовательное сложение шестиугольных чисел,
начиная с единицы, всегда будет давать число кубическое. Следовательно,
можно считать доказанным, что вычисление, требуемое для решения задачи (Е
), никогда не завершится.
Рис. 2.3. Каждую часть построения можно рассматривать как шестиугольник.
Кто-то, быть может, уже готов упрекнуть меня в том, что представленные
выше рассуждения можно счесть в лучшем случае интуитивным умозаключением,
но не формальным и строгим математическим доказательством. На самом же
деле, перед вами именно доказательство, и доказательство вполне здравое,
а пишу все это я отчасти и для того, чтобы показать, что осмысленность
того или иного метода математического обоснования никак не связана с его
"формализованностью" в соответствии с какой-либо заранее заданной и
общепринятой системой правил. Напомню, кстати, о еще более элементарном
примере геометрического обоснования, применяемого для получения одного
общего свойства натуральных чисел, - речь идет о доказательстве истинно-
122
Глава 2
сти равенства axb = Ьха, приведенном в § 1.19. Тоже вполне достойное
"доказательство", хотя формальным его назвать нельзя.
Представленное выше рассуждение о суммировании последовательных
шестиугольных чисел можно при желании заменить более формальным
математическим доказательством. В основу такого формального
доказательства можно положить принцип математической индукции, т. е.
процедуру установления истинности утверждения в отношении всех
натуральных чисел на основании одного-единственного вычисления. По
существу, этот принцип позволяет заключить, что некое положение Р(п),
зависящее от конкретного натурального числа п (например, такое: "сумма
первых п шестиугольных чисел равна п3"), справедливо для всех п, если мы
можем показать, во-первых, что оно справедливо для п = 0 (или, в нашем
случае, для п = 1), и, во-вторых, что из истинности Р (п) следует
истинность и Р(п +1). Думаю, нет необходимости описывать здесь в деталях,
как можно с помощью математической индукции доказать невозможность
завершить вычисление ( Е); тем же, кого данная тема заинтересовала,
рекомендую попытаться в качестве упражнения выполнить такое
доказательство самостоятельно.
Всегда ли для установления факта действительной незавер-шаемости
вычисления достаточно применить некие четко определенные правила - такие,
например, как принцип математической индукции? Как ни странно, нет. Это
утверждение, как мы вскоре увидим, является одним из следствий теоремы
Гёделя, и для нас крайне важно попытаться его правильно понять. Причем
недостаточной оказывается не только математическая индукция.
Недостаточным будет какой угодно набор правил, если под "набором правил"
подразумевать некую систему формализованных процедур, в рамках которой
возможно исключительно вычислительным путем проверить корректность
применения этих правил в каждом конкретном случае. Такой вывод может
показаться чересчур пессимистичным, ибо он, по-видимому, означает, что,
несмотря на то, что вычисления, которые нельзя завершить, существуют, сам
факт их незавершаемости строго математически установить невозможно.
Однако смысл упомянутого следствия из теоремы Гёделя заключается вовсе не
в этом. На самом деле, все не так уж и плохо: способность понимать и
делать выводы, присущая математикам - как, впрочем, и всем остальным
людям, наделенным логическим мышлением и воображением, - просто-
2.5. Семейства вычислений
123
напросто не поддается формализации в виде того или иного набора правил.
Иногда правила могут стать частичной заменой пониманию, однако в полной
мере такая замена не представляется возможной.
2,5, Семейства вычислений; следствие Гёделя -
Тьюринга^
Для того, чтобы понять, каким образом из теоремы Гёделя (в моей
упрощенной формулировке, навеянной отчасти идеями Тьюринга) следует все
вышесказанное, нам необходимо будет сделать небольшое обобщение для типов
утверждений, относящихся к рассмотренным в предыдущем разделе
вычислениям. Вместо того чтобы решать проблему завершаемости для каждого
отдельного вычисления ((А), (В), (С), (D) или (Е)), нам следует
рассмотреть некоторое общее вычисление, которое зависит от натурального
числа п (либо как-то воздействует на него). Таким образом, обозначив
такое вычисление через С(п), мы можем рассматривать его как целое
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 286 >> Следующая