Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Тени разума: в поисках науки о сознании - Пенроуз Р.

Пенроуз Р. Тени разума: в поисках науки о сознании — Москва, 2005. — 688 c.
ISBN 0-19-510646-6
Скачать (прямая ссылка): vpoiskahnaukiosoznanii2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 286 >> Следующая

Противоречивая формальная система И может утверждать (в качестве
"теоремы") вообще все, что она в состоянии сформулировать! Она вполне
может, как выясняется, сформулировать и утверждение: "система Н
непротиворечива". Формальная система (достаточно обширная) утверждает
собственную непротиворечивость тогда и только тогда, когда она
противоречива!
Q19. Почему бы нам просто не учредить процедуру многократного добавления
высказывания G (F) к любой системе F, какой мы в данным момент
пользуемся, и не позволить этой процедуре выполняться бесконечно?
Когда нам дана какая-либо конкретная формальная система F, достаточно
обширная и полагаемая обоснованной, мы в состоянии понять, как добавить к
ней высказывание G (F) в качестве новой аксиомы и получить тем самым
новую систему Fb
188
Глава 2
которая также будет считаться обоснованной. (Для согласования обозначений
в последующем изложении систему F можно также обозначить через Fo.)
Теперь мы можем добавить к системе Fj высказывание G^), получив в
результате новую систему F2, также, предположительно, обоснованную.
Повторив данную процедуру, т. е. добавив к системе F2 высказывание G
(F2), получим систему F3 и т. д. Приложив еще совсем немного усилий, мы
непременно сообразим, как построить еще одну формальную систему Fw,
аксиомы которой позволят нам включить в систему в качестве дополнительных
аксиом для F все бесконечное множество высказываний {G (F0), G (Fi), G
(F2), G (F3), ...}. Очевидно, что система ?ш также будет обоснованной.
Этот процесс можно продолжить и дальше: к системе добавляется
высказывание G(F^), в результате чего получается система Fw+i, к которой
затем добавляется высказывание G (F^,+]), что дает систему Рш+2, и т.д.
Далее, как и в предыдущий раз, мы можем построить формальную систему
Ры2(= ЕЫ+(Д, включив в нее весь бесконечный набор соответствующих аксиом,
каковая система опять-таки окажется очевидно обоснованной. Добавлением к
ней высказывания G (Рш2), получим систему Fw2+i и т. д., а потом построим
новую систему Еш2+Ш), включив в нее опять-таки
бесконечное множество аксиом. Повторив всю вышеописанную процедуру, мы
сможем получить формальную систему FW4, после следующего повтора -
систему и т. д. Еще чуть-чуть потрудиться, и мы обязательно увидим, как
можно включить уже это множество новых аксиом {G (Ры), G (Fw2), G (F^), G
(Fw4), ...} в новую формальную систему Ешг(= F^.). Повторив всю
процедуру, мы получим новую систему Еш2+Ш2, затем - систему Рш2+ш2+ш2 и
т.д.; в конце концов, когда мы сообразим, как связать все это вместе
(разумеется, и на этот раз не без некоторого напряжения умственных
способностей), наши старания приведут нас к еще более всеобъемлющей
системе F^3, которая также должна быть обоснованной.
Читатели, которые знакомы с понятием канторовых трансфинитных ординалов,
несомненно, узнают индексы, обычно используемые для обозначения таких
чисел. Тем же, кто от подобных вещей далек, не стоит беспокоиться из-за
незнания точного значения этих символов. Достаточно сказать, что
описанную процедуру "гёделизации" можно продолжить и далее: мы получим
формальные системы Fw4, F^.->, ..., после чего придем
2.10. Возможные формальные возражения против <3 189
к еще более обширной системе Fu", затем процесс продолжается до еще
больших ординалов, например, uiw и т.д. - до тех пор, пока мы все еще
способны на каждом последующем этапе понять, каким образом
систематизировать все множество гёделизаций, которые мы получили на
данный момент. В этом и заключается основная проблема: для упомянутых
нами "усилий, трудов и напряжений" требуется соответствующее понимание
того, как должно систематизировать предыдущие гёделизации. Эта
систематизация выполнима при условии, что достигаемый к каждому
последующему моменту этап будет помечаться так называемым рекурсивным
ординалом, что, в сущности, означает, что должен существовать
определенный алгоритм, способный такую процедуру генерировать. Однако
алгоритмической процедуры, которую можно было бы заложить заранее и
которая позволила бы выполнить описанную систематизацию для всех
рекурсивных ординалов раз и навсегда, просто-напросто не существует. Нам
снова неизбежно потребуется понимание.
Вышеприведенная процедура была впервые предложена Аланом Тьюрингом в его
докторской диссертации (а опубликована в там же Тьюринг показал,
что любое истинное Щ-
высказывание можно, в некотором смысле, доказать с помощью многократной
гёделизации, подобной описанной нами. (См. также [117].) Впрочем,
воспользоваться этим для получения механической процедуры установления
истинности Щ-высказываний нам не удастся по той простой причине, что
механически систематизировать гёделизацию невозможно. Более того,
невозможность "автоматизации" процедуры гёделизации как раз и выводится
из результата Тьюринга. А в §2.5 мы уже показали, что общее установление
истинности (либо ложности) ТВ -высказываний невозможно произвести с
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 286 >> Следующая